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2022新高考数学(江苏版)一轮复习训练:第三章第9讲函数与方程(附解析)

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[A级 基础练]1.(2021·河南商丘九校联考)函数f(x)=(x2-1)·的零点个数是(  )A.1         B.2C.3D.4解析:选B.要使函数有意义,则x2-4≥0,解得x≥2或x≤-2.由f(x)=0得x2-4=0或x2-1=0(不成立舍去),即x=2或x=-2.所以函数的零点个数为2.故选B.2.(2021·镇江模拟)函数f(x)=-x的零点位于区间(  )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:选B.函数f(x)在R上为减函数,其图象为一条不间断的曲线.因为f(1)=-=>0,f(2)=-=-<0,所以f(1)·f(2)<0,所以由零点存在性定理可知,函数f(x)的零点位于区间(1,2).故选B.3.(2021·南充市第一次适应性考试)函数f(x)=若方程f(x)=a有且只有一个实数根,则实数a满足(  )A.a=1B.a>1C.0≤a<1D.a<0解析:选A.方程f(x)=a有且只有一个实数根,即直线y=a与f(x)的图象有且只有一个交点,作出函数f(x)的图象如图所示,当a=1时,直线y=a与函数f(x)的图象有且只有一个交点,故选A.4.(多选)给出以下四个方程,其中有惟一解的是(  ) A.lnx=1-xB.ex=C.2-x2=lg|x|D.cosx=|x|+1解析:选ABD.对于A,设f(x)=lnx+x-1,易知y=f(x)为增函数,又f(1)=0,故lnx=1-x有惟一解,符合题意;对于B,设g(x)=ex-,易知y=g(x)为增函数,又g=-2<0,g(1)=e-1>0,由函数零点的判定可得ex=有惟一解,符合题意;对于C,设h(x)=x2+lgx-2,易知y=h(x)为增函数,由h(1)=1-2<0,h(2)=2+lg2>0,由函数零点的判定可得h(x)=x2+lgx-2有惟一零点,又h(x)=2-x2-lg|x|为偶函数,则2-x2=lg|x|有两个解,不符合题意;对于D,因为cosx∈[-1,1],|x|+1≥1,当且仅当x=0时,cosx=x+1,即cosx=|x|+1有惟一解,符合题意.5.已知函数f(x)=则使方程x+f(x)=m有解的实数m的取值范围是(  )A.(1,2)B.(-∞,-2]C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,1]∪[2,+∞)解析:选D.当x≤0时,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;当x>0时,x+f(x)=m,即x+=m,解得m≥2,即实数m的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).故选D.6.已知函数f(x)=+a的零点为1,则实数a的值为________.解析:由已知得f(1)=0,即+a=0,解得a=-.答案:-7.函数f(x)=的零点个数是________.解析:当x>0时,作出函数y=lnx和y=x2-2x的图象,由图知,当x>0时,f(x)有2个零点; 当x≤0时,由f(x)=0,得x=-.综上,f(x)有3个零点.答案:38.若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.解析:当x>0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.因为函数f(x)有两个不同的零点,则当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点.令f(x)=0,得a=2x.因为0<2x≤20=1,所以0<a≤1,所以实数a的取值范围是(0,1].答案:(0,1]9.设函数f(x)=(x>0).(1)作出函数f(x)的图象;(2)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.解:(1)如图所示.(2)由函数f(x)的图象可知,当0<m<1时,方程f(x)=m有两个不相等的正根.10.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同的实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1). [B级 综合练]11.已知奇函数f(x)是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是(  )A.B.C.-D.-解析:选C.因为函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,所以方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一个实数根,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(2x2+1)+f(λ-x)=0⇔f(2x2+1)=f(x-λ)⇔2x2+1=x-λ,所以方程2x2-x+1+λ=0只有一个实数根,所以Δ=(-1)2-4×2×(1+λ)=0,解得λ=-.故选C项.12.(多选)已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4,且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),则下列结论正确的是(  )A.x1+x2=-1B.x3x4=1C.1<x4<2D.0<x1x2x3x4<1解析:选BCD.由函数f(x)=作出其函数图象:由图可知,x1+x2=-2,-2<x1<-1;当y=1时,|log2x|=1,有x=,2,所以<x3<1<x4<2;由f(x3)=f(x4),有|log2x3|=|log2x4|,即log2x3+log2x4=0,所以x3x4=1,则x1x2x3x4=x1x2=x1(-2-x1)=-(x1+1)2+1∈(0,1).故选BCD.13.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1. (1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-mx的两个零点分别在区间(-1,2)和(2,4)内,求m的取值范围.解:(1)由f(0)=2得c=2,又f(x+1)-f(x)=2x-1,得2ax+a+b=2x-1,故解得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x+2.(2)g(x)=x2-(2+m)x+2,若g(x)的两个零点分别在区间(-1,2)和(2,4)内,则满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为.14.已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=(1)求g[f(1)]的值;(2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解:(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图,由图象可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.[C级 创新练]15.已知a,b∈R,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=2x+1⊗(2-4x),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是(  )A.(0,1)B.(0,2)∪(2,3) C.(0,2)D.(0,-1)∪(-1,2)解析:选A.若2x+1-(2-4x)≤1,则(2x)2+2×2x-3≤0,即2x≤1,解得x≤0;若2x+1-(2-4x)>1,则(2x)2+2×2x-3>0,解得2x>1或2x<-3(舍去),即x>0.所以f(x)=作出函数f(x)的图象和y=c的图象如图所示.因为y=f(x)-c有两个零点,所以f(x)=c有两个解,所以0<c<1.故选A.16.定义:设不等式F(x)<0的解集为M,若M中只有惟一整数,则称M是最优解.若关于x的不等式|x2-2x-3|-mx+2<0有最优解,则实数m的取值范围是(  )A.B.C.∪D.∪解析:选D.|x2-2x-3|-mx+2<0可转化为|x2-2x-3|<mx-2,在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)=|x2-2x-3|,g(x)=mx-2的图象,如图所示.易知m=0时不满足题意.当m>0时,要存在惟一的整数x0,满足f(x0)<g(x0), 则即解得<m≤.当m<0时,要存在惟一的整数x0,满足f(x0)<g(x0),则即解得-≤m<-2.综上,实数m的取值范围是∪.故选D.

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发布时间:2021-09-20 19:00:06 页数:7
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文章作者:随遇而安

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