2023年新高考一轮复习讲义第07讲 函数的单调性与最值（解析版）

第7讲　函数的单调性与最值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，．由，得．因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，所以函数的单调减区间是．故选：C.2．（2021·山东临沂·高三阶段练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：A3．（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得定义域为，，故为偶函数，而，在上单调递增，故在上单调递增，则可化为，得解得故选：D4．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）定义在上的偶函数在上单调递减，且，若不等式的解集为，则的值为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为偶函数，，在单调递减，若，则，不等式可转化为，所以，解得：，所以且，即.故选:B.5．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】当时，，当且仅当时，等号成立；即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.6．（2022·山东济宁·三模）若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由对，且，都有，所以函数在上递减，又函数为偶函数，所以函数关于对称，所以，又，因为，所以，因为，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，所以，即.故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，记，若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】则令，由，所以令因为在区间上是增函数，所以在也是增函数所以，则即故选：B8．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：函数的对称轴为直线，因为函数在区间上递减，所以.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，，所以.因为，所以.故选：B9．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（       ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】取，故，设，则，在上，，故在上为减函数，故A错误.而，设，则，在上，，故在上为减函数，故D错误.设，，任意，则，因为均是定义在R上的单调递增函数，故，所以即，故是R上的单调递增函数.而因为是定义在R上的单调递增函数，故，且，所以即，故是R上的单调递增函数.故BC正确.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：BC10．（多选）（2022·山东·青岛二中高三期末）记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（       ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】解：因为，所以，则，所以在单调递增，所以，即，所以，故A错误；同理，即，所以，故B正确；因为，所以，构造函数，则，所以在单调递减，所以，即，化简得，故C正确；同理，即，化简得，故D错误.故选：BC.11．（2022·江苏省平潮高级中学高三开学考试）函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调减区间是________．【答案】和．【解析】根据题意，，故当时，函数在区间(0，1)上单调递增，在上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 在（-1，0）上单调递减．故答案为：和（-1，0）．12．（2022·浙江省普陀中学高三阶段练习）已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为___________.【答案】【解析】因为奇函数在[－1，1]上是增函数，所以有，可化为，要使该不等式成立，有，解得，所以的取值范围为.故答案为：.13．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数在上的最小值为1，则的值为________.【答案】1【解析】由题意得，当时，在上单调递减，∴的最小值为，，所以不成立；当时，，在单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，符合题意.故.故答案为：1.14．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】解：函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为函数在上递增，所以函数在上递增，则，因为，所以，，所以，所以，即.故答案为：.15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且(1)确定函数的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)解不等式．【解】(1)解：因为函数，恒成立，所以，则，此时，所以，解得，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以；(2)证明：设，则，，，且，则，则，即，所以函数是增函数．(3)，，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为．16．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.(1)求的解析式；(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.【解】(1)∵，∴.即，因为任意实数x，恒成立，则且，∴，，所以.(2)因为，设，要使在上单调，只需要或或或，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 解得或，所以实数k的取值范围.17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若在区间上不单调，求的取值范围；(2)求函数在区间上的最大值；(3)若对于任意的，存在，使得，求的取值范围．【解】(1)解：函数的对称轴为，因为已知在区间，上不单调，则，解得，故的范围为；(2)，（1），当时，即时，最大值为，当时，即时，最大值为（1），(3)解法一当时，即时，（2），（2），，所以；当时，即时，，，，，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 综上，，故，所以，解法二：，当且仅当时等号成立，又，.【素养提升】1．（2022·江苏南通·高三期末）已知函数，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的解集是（       ）A．(1，＋∞）B．C．D．(－∞，1)【答案】B【解析】的定义域满足，由，所以在上恒成立.所以的定义域为则所以，即为奇函数.设，由上可知为奇函数.当时，，均为增函数，则在上为增函数.所以在上为增函数.又为奇函数，则在上为增函数，且试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以在上为增函数.又在上为增函数，在上为减函数所以在上为增函数，故在上为增函数由不等式，即所以，则故选：B2．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得且函数关于点对称．由对任意，，均有，可知函数在上单调递增．又因为函数的定义域为R，所以函数在R上单调递增．因为a，b为关于x的方程的两个解，所以，解得，且，即．又，令，则，则由，得，所以．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 综上，t的取值范围是.故选：D．3．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围______．【答案】【解析】，因为在上为增函数，所以在上为增函数，因为，所以可化为，因为在上为增函数，所以对恒成立，所以对恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即实数的取值范围，故答案为：4．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知函数，若存在实数b，使得对任意的都有，则实数a的最大值是__________.【答案】【解析】令，当时，，在单调递减，在单调递增，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，，的值域为，由可知，不存在实数b，使得对任意的都有当时，在单调递减，在和单调递增，，，的值域为由可知，不存在实数b，使得对任意的都有当时，在单调递减，在单调递增，，，的值域为由整理得，解之得或又有，则，故实数a的最大值是当时，不影响实数a的最大值，不再讨论.故答案为：试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司