2022高考数学（文）一轮复习训练：第二章第2讲函数的单调性与最值（含解析）

[A级　基础练]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．y＝x　B．y＝2－xC．y＝logxD．y＝解析：选A．对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A正确；选项D中的函数y＝可转化为y＝x－1，所以函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，故选项D不符合题意；对于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当0<a<1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递减，当a>1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B中的函数y＝2－x可转化为y＝，因此函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C中的函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A．2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)A．B．－C．－2D．2解析：选A．函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝. 3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)A．(－∞，0)B．C．[0，＋∞)D．解析：选B．y＝|x|(1－x)＝＝函数y的草图如图所示．由图易知函数y＝|x|(1－x)在上单调递增．故选B．4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)A．B．[－6，－4]C．[－3，－2]D．[－4，－3]解析：选B．由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．5．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)A．B．C．D．解析：选D．因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f .所以0≤2x－1<，解得≤x<.6．函数f(x)＝－的值域为________．解析：因为所以－2≤x≤4，所以函数f(x)的定义域为[－2，4]．又y1＝，y2＝－在区间[－2，4]上均为减函数，所以f(x)＝－在[－2，4]上为减函数，所以f(4)≤f(x)≤f(－2)．即－≤f(x)≤.答案：[－，]7．若函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝2|x－a|＋3＝因为函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1.所以a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)8．定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值为________．解析：由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；当1<x≤2时，f(x)＝x3－2.因为f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.答案：6 9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求实数a的值．解：(1)证明：任取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，所以f＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝.10．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．(2)设1＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.[B级　综合练]11．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，0)∪(0，1]B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，＋∞)D．(0，1]解析：选D．函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是(0，1]．12．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0解析：选B．因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)<f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B．13．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为 ________．解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以a的取值范围是0≤a≤2.答案：[0，2]14．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________．解析：因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，]．答案：[1，]15．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝当x∈[0，2)时，－1≤f(x)<0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7， 所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f(x)＝又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，故a的取值范围为[－4，－2]．[C级　提升练]16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间上是单调递减函数．(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)，由f＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.所以f(x)在[2，9]上的最小值为－2.