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2022高考数学(文)一轮复习训练:第二章第2讲函数的单调性与最值(含解析)

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[A级 基础练]1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(  )A.y=x B.y=2-xC.y=logxD.y=解析:选A.对于幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以选项A正确;选项D中的函数y=可转化为y=x-1,所以函数y=在(0,+∞)上单调递减,故选项D不符合题意;对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1),当0<a<1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递减,当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上单调递增,而选项B中的函数y=2-x可转化为y=,因此函数y=2-x在(0,+∞)上单调递减,故选项B不符合题意;对于对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,因此选项C中的函数y=logx在(0,+∞)上单调递减,故选项C不符合题意,故选A.2.函数f(x)=-x+在上的最大值是(  )A.B.-C.-2D.2解析:选A.函数f(x)=-x+的导数为f′(x)=-1-,则f′(x)<0,可得f(x)在上单调递减,即f(-2)为最大值,且为2-=. 3.函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是(  )A.(-∞,0)B.C.[0,+∞)D.解析:选B.y=|x|(1-x)==函数y的草图如图所示.由图易知函数y=|x|(1-x)在上单调递增.故选B.4.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是(  )A.B.[-6,-4]C.[-3,-2]D.[-4,-3]解析:选B.由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-∈[2,3],即a∈[-6,-4].5.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是(  )A.B.C.D.解析:选D.因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)<f .所以0≤2x-1<,解得≤x<.6.函数f(x)=-的值域为________.解析:因为所以-2≤x≤4,所以函数f(x)的定义域为[-2,4].又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均为减函数,所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数,所以f(4)≤f(x)≤f(-2).即-≤f(x)≤.答案:[-,]7.若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范围是________.解析:因为函数f(x)=2|x-a|+3=因为函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,所以a>1.所以a的取值范围是(1,+∞).答案:(1,+∞)8.定义新运算“⊕”:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值为________.解析:由已知得,当-2≤x≤1时,f(x)=x-2;当1<x≤2时,f(x)=x3-2.因为f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域内都为增函数,所以f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.答案:6 9.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求实数a的值.解:(1)证明:任取x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=--+=,因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f(x)在上为增函数,所以f=-2=,f(2)=-=2,解得a=.10.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.解:(1)证明:设x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)设1<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=.因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.综上所述,0<a≤1.[B级 综合练]11.若f(x)=-x2+4mx与g(x)=在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是(  )A.(-∞,0)∪(0,1]B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,+∞)D.(0,1]解析:选D.函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)=的图象由y=的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1].12.已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则(  )A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0解析:选B.因为函数f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,所以当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0;当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,即f(x1)<0,f(x2)>0.故选B.13.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 ________.解析:因为当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,所以a≥0.当x>0时,f(x)=x++a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2,所以a的取值范围是0≤a≤2.答案:[0,2]14.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=x2-x+是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为________.解析:因为函数f(x)=x2-x+的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,又当x≥1时,=x-1+,令g(x)=x-1+(x≥1),则g′(x)=-=,由g′(x)≤0得1≤x≤,即函数=x-1+在区间[1,]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,].答案:[1,]15.已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.(1)当a=2时,求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值;(2)若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4==当x∈[0,2)时,-1≤f(x)<0,当x∈[2,3]时,0≤f(x)≤7, 所以f(x)在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.(2)因为f(x)=又f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,所以当x>2时,f(x)单调递增,则-≤2,即a≥-4.当-1<x≤2时,f(x)单调递增,则≤-1.即a≤-2,且4+2a-2a-4≥4-2a+2a-4恒成立,故a的取值范围为[-4,-2].[C级 提升练]16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)证明:f(x)为单调递减函数;(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.解:(1)令x1=x2>0,代入得f(1)=f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.(2)证明:任取x1,x2∈,且x1>x2,则>1,由于当x>1时,f(x)<0,所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间上是单调递减函数.(3)因为f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9),由f=f(x1)-f(x2)得f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.所以f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

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发布时间:2021-10-08 18:03:31 页数:7
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文章作者:随遇而安

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