高考数学总复习 2-2函数的单调性与最值 新人教B版

2-2函数的单调性与最值基础巩固强化1.(2012·陕西文)集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝(　　)A．(1,2)　　　　　　　B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2][答案]　C[解析]　本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1<x≤2}＝(1,2]．[点评]　对于对数方程或对数不等式的求解一定不要忽略要使函数有意义，应有真数>0.2．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值(　　)A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负[答案]　A[解析]　∵f(x)在R上有意义，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∵f(x)为增函数，∴f(1)>f(0)＝0.3．(文)若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)[答案]　C[解析]　f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±，当x<－和x>时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－<x<时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－，)，从而＝2，∴a＝2.[点评]　f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.(理)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是(　　)A．(－∞，]B．[，＋∞)C．(－1，]D．[，4)[答案]　D14\n[解析]　由4＋3x－x2>0得，函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋的减区间为[，4)，∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为[，4)．[点评]　可用筛选法求解，显然x＝±100时，f(x)无意义，排除A、B；f(0)＝ln4，f(1)＝ln6，f(0)<f(1)，排除C，故选D.4．(文)(2012·天津文)已知a＝21.2，b＝()－0.8，c＝2log52，则a、b、c的大小关系为(　　)A．c<b<aB．c<a<bC．b<a<cD．b<c<a[答案]　A[解析]　本题考查指数、对数值的大小比较．a＝21.2>21＝2，b＝()－0.8＝20.8<21＝2，b＝20.8>20＝1，c＝2log52＝log522＝log54<log55＝1，所以c<b<a.(理)(2012·大纲全国理)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e，则(　　)A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x[答案]　D[解析]∵y＝log52＝，z＝e＝且<2<log25，∴y<z<1，又lnπ>1，∴y<z<x，故选D.[点评]　比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单调性求解．解题时，应注意观察判断数的正负，正数区分大于1还是小于1，再找出同底数的、同指数的、同真数的，区别不同情况采用不同函数的单调性或图象与性质进行比较，有时需要先进行变形再比较．5．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　)A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]　B14\n[解析]　①y＝x为增函数，排除A、D；④y＝2x＋1为增函数，排除C，故选B.6．已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则(　　)A．f<f<fB．f<f<fC．f<f<fD．f<f<f[答案]　B[解析]　由条件知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∵f(x)为偶函数，∴f＝f＝f＝f，f＝f＝f，f＝f＝f＝f，∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f>f>f，∴f>f>f.7．(2012·湖北八校联考)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1、x2，当x1<x2≤时，f(x2)－f(x1)<0，则实数a的取值范围为________．[答案]　1<a<2[解析]　由题意知函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)在(－∞，]上递减，又因为函数y＝x2－ax＋5在(－∞，]上递减，由对数函数的性质可知a>1.又真数大于零，所以函数y＝x2－ax＋5的最小值大于零，即()2－a×＋5>0，所以－2<a<2，综上1<a<2.8．(2011·德州月考)已知函数f(x)＝若f(x0)≥2，则x0的取值范围是____________．14\n[答案]　(－∞，－1]∪[2，＋∞)．[解析]　当x0≤0时，f(x0)≥2化为()x0≥2，即：()x0≥()－1，∴x0≤－1，当x0＞0时，f(x0)≥2化为log2(x0＋2)≥2，即log2(x0＋2)≥log24，∴x0＋2≥4，∴x0≥2，∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．9．(2011·淮南一模)已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案]　①③④[解析]　(数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1>0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．10．(文)(2012·南通市调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－t＋(1≤t≤100，t∈N14\n)．前40天价格为f(t)＝t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．[解析]　当1≤t≤40，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝(－t＋)(t＋22)＝－t2＋2t＋＝－(t－12)2＋，所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝＋12＝.当41≤t≤100，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝(－t＋)(－t＋52)＝t2－36t＋＝(t－108)2－，所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝.所以，S(t)的最大值为，最小值为8.(理)(2012·安徽名校联考)已知一家公司生产某种商品的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该商品x千件并全部销售完，若每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一商品的生产中所获得利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[解析]　(1)当0<x≤10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.∴W＝(2)①当0<x<10时，由W′＝8.1－＝0，得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10)时，W′<0，∴当x＝9时，W取极大值，且W＝8.1×9－·93－10＝38.6.②当x>10时，W＝98－≤98－2＝38，14\n当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，故当x＝时，W取极大值38.又当x＝10时，W＝.综合①②知当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一商品的生产中所获年利润最大.能力拓展提升11.(2012·陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝D．y＝x|x|[答案]　D[解析]　本题考查了函数的奇偶性、单调性等性质的应用．A中y＝x＋1是非奇非偶函数；B中y＝－x3是减函数；C中y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别递减，但在整个定义域上不是单调函数；D中函数y＝x|x|可化为y＝可画出其图象如图所示：显然该函数为奇函数且为增函数．12．(文)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)14\n[答案]　A[解析]　∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评]　B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．(理)如果函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是减函数，那么函数f(x)＝loga的图象大致是(　　)14\n[答案]　C[解析]　解法一：由函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是减函数知a>1，∴0<<1，f(x)＝loga＝－loga(x＋1)＝log(x＋1)．函数f(x)的图象可以看作由函数y＝logx的图象向左平移1个单位长度得到，又y＝logx是减函数，∴f(x)为减函数，故选C.解法二：由于f(0)＝0，故排除A、B；由y＝a－x，即y＝x是减函数知a>1，∴x>0时，f(x)<0，排除D，选C.13．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数在区间(　　)上是增函数．(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴θ＝，∴y＝2cosωx14\n，由条件知，此函数的周期为π，∴ω＝2，∴y＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，(k∈Z)得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，令k＝0知，函数在上是增函数，故A正确．14．(文)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．[答案]　(0,1][解析]　由f(x)＝－x2＋2ax得函数对称轴为x＝a，又在区间[1,2]上是减函数，所以a≤1，又g(x)＝在[1,2]上减函数，所以a>0，综上a的取值范围为(0,1]．(理)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．[答案]　a≤－4[解析]　∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f′(x)＝2x＋2＋＝≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)时恒成立，∵g(x)的对称轴x＝－，x∈(0,1)，∴g(1)≤0，即a≤－4.15．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值范围．[解析]　(1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则解得－1<x<1.故所求定义域为{x|－1<x<1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，所以f(x)>0⇔>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值范围是{x|0<x<1}．14\n16．(文)已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.[解析]　(1)证明：任取x1、x2∈R且x1<x2，∴x2－x1>0.∴f(x2－x1)>1.∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1>f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．(2)解：f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.∴f(3m2－m－2)<3化为f(3m2－m－2)<f(2)．又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，∴－1<m<.∴原不等式的解集为{x|－1<x<}．(理)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为实数，且a≠0)，F(x)＝(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0.[解析]　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝2ax＋b.又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，所以c＝2a＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.从而f(x)＝－3x2－6x－3.所以F(x)＝(2)由(1)知f(x)＝－3x2－6x－3，所以g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3.14\n由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：－≤－1或－≥1，得k≤－12或k≥0.(3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0.因此f(x)＝ax2＋c.又因为mn<0，m＋n>0，可知m、n异号．若m>0，则n<0.则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c＝a(m＋n)(m－n)>0.若m<0，则n>0.同理可得F(m)＋F(n)>0.综上可知F(m)＋F(n)>0.1．(2012·新课标全国文)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)A．(0，)B．(，1)C．(1，)D．(，2)[答案]　B[解析]　∵0<x≤时，logax>4x>0，∴0<a<1，排除C、D；当x＝时，loga>4＝2＝logaa2，∴或∴a>，排除A，选B.2．(2012·山东聊城模拟)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递减区间为(　　)A．(－∞，－1]B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)[答案]　D[解析]　由题意知，f(x)＝∴f(x)＝14\n作图不难发现，函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．故选D.3．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有(　　)A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1)B．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1)C．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)[答案]　C[解析]　由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0得f(x)在(－∞，0]上为增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，＋∞)上为减函数．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1<n<n＋1，∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)．故选C.4．已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f()，c＝f(2)，则a、b、c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．c>b>a[答案]　D[解析]　∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)<f()<f(2)，即c>b>a.5．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logx)的单调减区间是(　　)14\nA．[1，]B．[，1]C．(0,1]和[，＋∞)D．(－∞，1]和[，＋∞)[答案]　C[解析]　令t＝logx，则此函数为减函数，由图知y＝f(t)在和[0，＋∞)上都是增函数，当t∈－∞，－时，x∈[，＋∞)，当t∈[0，＋∞)时，x∈(0,1]，∴函数g(x)＝f(logx)在(0,1]和[，＋∞)上都是减函数，故选C.6．(2013·陕西西工大附中第三次适应性训练)已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)和eaf(0)的大小关系为(　　)A．f(a)<eaf(0)B．f(a)>eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．f(a)≤eaf(0)[答案]　B[解析]　令F(x)＝，则F′(x)＝>0，∴F(x)为增函数，∵a>0，∴F(a)>F(0)，即>f(0)，∴f(a)>eaf(0)，故选B.7．若函数y＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，4]B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[2，＋∞)D．(－4,2)14\n[答案]　B[解析]　本题考查含参数的函数的讨论及复合函数的应用．由题知：y＝log2x为单调增函数，y＝log2(x2－ax＋3a)的单调增区间为y＝x2－ax＋3a的增区间的一个子区间，由y＝x2－ax＋3a⇒y′＝2x－a，又在[2，＋∞)是单调增函数，即在x∈[2，＋∞)，2x－a＞0恒成立，即只需2×2－a＞0即可⇒a＜4，又y＝x2－ax＋3a在x∈[2，＋∞)上恒大于0，则22－2a＋3a＞0⇒a＞－4，综上可得：－4＜a<4，当a＝4时同样成立．故选B.[点评]　本题还可以根据二次函数的对称轴讨论求解．欲满足题中条件，只需≤2，且22－a×2＋3a＞0⇒a≤4且a＞－4即－4＜a≤4.8．函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的(　　)[答案]　C[解析]　∵y＝是偶函数，排除A，当x＝2时，y＝>2，排除D，当x＝时，y＝＝>1，排除B，故选C.14