【师说 高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学 1.4 函数的单调性与最值练习
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【师说高中全程复习构想】(新课标)2022届高考数学1.4函数的单调性与最值练习一、选择题1.(2022·宁夏月考)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是( )A.y=logx B.y=2x-1C.y=x2-D.y=-x3解析:观察四个选项,在(-1,1)内单调递增的只有函数y=2x-1且其在(-1,1)内也有零点.故选B.答案:B2.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( )A.B.C.D.解析:函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-2+的减区间为,∵e>1,∴函数f(x)的单调减区间为.答案:D3.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上( )A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有惟一的实根解析:∵f(a)·f(b)<0且f(x)在[a,b]上单调,∴由数形结合,可以看出,必有惟一的实数x0,使f(x0)=0成立.答案:D4.函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示,则函数g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( )A.B.(-∞,0)∪C.[,1]4\nD.[,]解析:y=logax(0<a<1)为减函数,根据复合函数的单调性及图象知,当0≤logax≤,即≤x≤1时,g(x)为减函数,故其单调减区间为[,1].答案:C5.已知函数f(x)=若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+∞)解析:要保证函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)=(a-2)x-1在区间(-∞,1]上单调递增,则a-2>0,即a>2.若f(x)=logax在区间(1,+∞)上单调递增,则a>1.另外,要保证函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增还必须满足(a-2)×1-1≤loga1=0,即a≤3.故实数a的取值范围为2<a≤3.答案:C6.已知函数f(x)图象的两条对称轴x=0和x=1,且在x∈[-1,0]上f(x)单调递增,设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a解析:因为f(x)在[-1,0]上单调递增,f(x)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)在[0,1]上单调递减;又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,2]上单调递增.由对称性f(3)=f(1)<f()<f(2),即a<b<c.答案:D二、填空题7.已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若f(m-1)<f(1-2m),则m的取值范围是______.解析:依题意,原不等式等价于⇒⇒-<m<.答案:8.已知下列四个命题:①若f(x)为减函数,则-f(x)为增函数;②若f(x)为增函数,则函数g(x)=在其定义域内为减函数;③若f(x)与g(x)均为(a,b)上的增函数,则f(x)·g(x)也是区间(a,b)上的增函数;④若f(x)与g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数,且g(x)≠0,则在(a,b)上是递增函数.其中正确命题的序号是__________.解析:①正确;②不正确,可用y=x(x≠0)说明,若f(x)恒大于零(或若f(x)恒小于零),则命题②成立;③不正确,可用y=x(x>0)与y=-(x>0)说明;④不正确,可用y=x(x>0)与y=-x(x>0)说明.答案:①9.已知函数f(x)=若f(6-a2)>f(5a),则实数a的取值范围是__________.4\n解析:当x≤2时,f1(x)=-x2+4x-10是单调递增函数;当x>2时,f2(x)=log3(x-1)-6也是单调递增函数,且f1(2)=-22+4×2-10=-6,f2(2)=log3(2-1)-6=-6,即f1(2)=f2(2),因此f(x)在R上单调递增,又因为f(6-a2)>f(5a),所以6-a2>5a,解得-6<a<1.答案:-6<a<1三、解答题10.函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a为实数).(1)当a=-1时,求函数y=f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;(3)求函数y=f(x)在(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值.解析:(1)a=-1时,f(x)=2x+,因为x∈(0,1],所以f(x)≥2=2,当且仅当2x=,即x=时,等号成立.所以函数y=f(x)的值域为[2,+∞).(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,则任取x1,x2∈(0,1]且x1<x2都有f(x1)>f(x2)成立,即(x1-x2)>0,只要a<-2x1x2即可.由x1,x2∈(0,1],故-2x1x2∈(-2,0),所以a≤-2.故a的取值范围是(-∞,-2](或用导数来判断).(3)当a≥0时,函数y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值2-a;由(2)得当a≤-2时,函数y=f(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时取得最小值2-a;当-2<a<0时,函数y=f(x)在上单调递减,在上单调递增,无最大值,当x=时取得最小值2.11.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时x的取值范围.解析:(1)当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,令x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2),∵2x1<2x2,a>0⇒a(2x1-2x2)<0,3x1<3x2,b>0⇒b(3x1-3x2)<0,∴f(x1)-f(x2)<0,函数f(x)在R上是增函数.当a<0,b<0时,同理,函数f(x)在R上是减函数.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0,当a<0,b>0时,x>-,则x>log1.5;4\n当a>0,b<0时,x<-,则x<log1.5.12.已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.解析:(1)证明:方法一:∵函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),∴令x=y=0,得f(0)=0.再令y=-x,得f(-x)=-f(x).在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此f(x)在R上是减函数.方法二:设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为增函数.(2)由(1)得f(x)在R上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为3,最小值为-2.4
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