2023版高考数学一轮复习课后限时集训11函数性质的综合问题含解析20230318173
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课后限时集训(十一) 函数性质的综合问题建议用时:40分钟一、选择题1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)=其中a∈R,若f(-5)=f(4.5),则a=( )A.0.5B.1.5C.2.5D.3.5C [由f(x+1)=f(x-1),得f(x)是周期为2的周期函数,又f(-5)=f(4.5),所以f(-1)=f(0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5,故选C.]2.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( )A.f<f<fB.f<f<fC.f<f<fD.f<f<fC [由f(x+2)=-f(x)及f(x)是奇函数得f=f=-f=f,又函数f(x)在[-1,1]上是减函数,所以f<f<f,即f<f<f,故选C.]3.(多选)若奇函数f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为0,则它在[-2,-1]上( )A.是增函数B.是减函数C.有最大值为0D.有最小值为0BD [因为f(x)为奇函数,所以函数在关于原点对称的区间上单调性相同,故函数在[-2,-1]上也为减函数.又由题易得f(1)=0,所以f(-1)=0,即0为函数在[-2,-1]上的最小值,故选BD.]4.设奇函数f(x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上,f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( )A.(-1,0)∪(1,+∞)\nB.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)D [∵奇函数f(x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上,在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,∴函数f(x)的图象关于原点对称,且过点(1,0)和(-1,0),且f(x)在(-∞,0)上也是增函数.∴函数f(x)的大致图象如图所示.∵f(-x)=-f(x),∴不等式<0可化为<0,即xf(x)<0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围,据图象可知x∈(-1,0)∪(0,1).]5.(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )A.是偶函数,且在单调递增B.是奇函数,且在单调递减C.是偶函数,且在单调递增D.是奇函数,且在单调递减D [由得函数f(x)的定义域为∪∪,其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当x∈时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.当x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln,易知函数f(x)单调递减,故选D.]6.(2020·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=sinx+,则( )A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=对称D [由题意得sinx∈[-1,0)∪(0,1].对于A,当sinx∈(0,1]时,f(x)=sinx+≥2\n=2,当且仅当sinx=1时取等号;当sinx∈[-1,0)时,f(x)=sinx+=-≤-2=-2,当且仅当sinx=-1时取等号,所以A错误.对于B,f(-x)=sin(-x)+=-=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以B错误.对于C,f(x+π)=sin(x+π)+=-,f(π-x)=sin(π-x)+=sinx+,则f(x+π)≠f(π-x),f(x)的图象不关于直线x=π对称,所以C错误.对于D,f=sin+=cosx+,f=sin+=cosx+,所以f=f,f(x)的图象关于直线x=对称,所以D正确.故选D.]二、填空题7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.6 [∵f(x+4)=f(x-2),∴f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期为6,∵919=153×6+1,∴f(919)=f(1).又f(x)为偶函数,∴f(919)=f(1)=f(-1)=6.]8.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).现有以下三个命题:①8是函数f(x)的一个周期;②f(x)的图象关于直线x=2对称;③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是________.①②③ [∵f(x)+f(x+2)=0,∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为4,故①正确;又f(4-x)=f(x),所以f(2+x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=2对称,故②正确;由f(x)=f(4-x)得f(-x)=f(4+x)=f(x),故③正确.]9.(2020·湖北荆门模拟)黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出,在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]上,其定义为:R(x)=若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f+f(lg30)=________.\n- [∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)+f(2-x)=0,∴f(x)=-f(2-x)=f(x-2),∴函数f(x)是以2为周期的周期函数,则f=f=f=-f=-R=-,f(lg30)=f(lg3+lg10)=f(lg3+1)=f(lg3-1)=-f(1-lg3)=-R(1-lg3)=0,∴f+f(lg30)=-.]三、解答题10.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)试求出函数f(x)在区间[-1,2]上的表达式.[解] (1)∵f(1+x)=f(1-x),∴f(-x)=f(2+x).又f(x+2)=f(x),∴f(-x)=f(x).又f(x)的定义域为R,∴f(x)是偶函数.(2)当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],则f(x)=f(-x)=x;从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.故f(x)=11.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值;(2)当-4≤x≤4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.[解] (1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.\n当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.1.(多选)(2020·山东日照期中)设f(x)是定义在R上的函数,若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f=,则称函数f(x)具有性质P.那么下列函数中,具有性质P的函数为( )A.f(x)=B.f(x)=|x2-1|C.f(x)=x3+xD.f(x)=2|x|ABC [对于A,在函数f(x)的图象上取A(-1,-1),B(0,0),C(1,1),有f(0)=成立,故A正确;对于B,在函数f(x)的图象上取A(-,1),B(0,1),C(,1),有f(0)=成立,故B正确;对于C,在函数f(x)的图象上取A(1,2),B(0,0),C(-1,-2),有f(0)=成立,故C正确;对于D,因为f(x)=2|x|,=≥=2≥2=f,又x1≠x2,所以f<恒成立,故D错误.故选ABC.]2.定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x∈R有f(x+4)=f(x);②f(x)在[0,2]上是增函数;③f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是( )A.f(7)<f(6.5)<f(4.5)B.f(7)<f(4.5)<f(6.5)C.f(4.5)<f(6.5)<f(7)D.f(4.5)<f(7)<f(6.5)D [由①知函数f(x)的周期为4,由③知f(x+2)是偶函数,则有f(-x+2)=f(x+2),即函数f(x)图象的一条对称轴是x=2,由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增,则在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上越靠近x=2,对应的函数值越大,又f(7)=f(3),f(6.5)=f(2.5),f(4.5)=f(0.5),由以上分析可得f(0.5)<f(3)<f(2.5),即f(4.5)<f(7)<f(6.5).故选D.]3.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数.\n(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.[解] (1)证明:若x1+x2=0,显然不等式成立.若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,同理可证f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.综上得证,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得即解得0≤a<1.故所求实数a的取值范围是[0,1).1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于x=1对称;③f(x)在[1,2]上是减函数;④f(2)=f(0).其中正确命题的序号是________.(请把正确命题的序号全部写出来)①②③④ [因为f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x,y∈R恒成立.令x=y=0,所以f(0)=0.令x+y=0,所以y=-x,所以f(0)=f(x)+f(-x).所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f(x)在[-1,0]上为增函数,又f(x)为奇函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数.由f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)⇒f(x+4)=f(x),\n所以周期T=4,即f(x)为周期函数.f(x+2)=-f(x)⇒f(-x+2)=-f(-x).又因为f(x)为奇函数.所以f(2-x)=f(x),所以函数图象关于x=1对称.由f(x)在[0,1]上为增函数,又关于x=1对称,所以f(x)在[1,2]上为减函数.由f(x+2)=-f(x),令x=0得f(2)=-f(0)=f(0).]2.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.[解] (1)因为对于任意x1,x2∈D有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数,证明如下:f(x)定义域关于原点对称,令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1,所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).
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