2025年高考数学一轮讲义第2章 第4课时　函数的对称性

第4课时　函数的对称性[考试要求]　1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2．会利用对称公式解决问题．1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线______对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点__________．2．函数的轴对称和中心对称(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x)．(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点__________对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数f(x)的图象的对称中心为a+b2，c2.3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于____对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于____对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于____对称．(4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝a+b2对称．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)(2)若函数y＝f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　　)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　)(4)若函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)5/5 二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于(　　)A．x轴对称　　　B．y轴对称C．原点对称　D．直线y＝x对称2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝13x的图象之间的关系是(　　)A．关于x轴对称　B．关于y轴对称C．关于原点对称　D．关于直线y＝x对称3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是(　　)A．y＝x　B．y＝x＋1xC．y＝2x2+1　D．y＝x－1x4．(人教A版必修第一册P87T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1.(1)若f(x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)的对称中心为点________．考点一　轴对称问题[典例1]　(1)已知定义在R上的函数y＝f(x＋1)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范围为(　　)A．(2，＋∞)　　　　B．(－∞，0)∪(2，＋∞)C．-∞，-23　D．-∞，-23∪(2，＋∞)(2)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2，0)对称5/5 C．f(x)的周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　轴对称的几种表述形式(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2成轴对称．[跟进训练]1．(1)已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝(　　)A．29　　B．11C．3　　D．5(2)已知函数g(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，则该函数图象的对称轴为直线x＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　中心对称问题[典例2]　(1)(多选)(2024·湖北武汉模拟)已知函数f(x)定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(－3x＋1)为奇函数，则下列式子一定成立的是(　　)A．f(2)＝0　B．f(1)＝0C．f(0)＝0　D．f(－1)＝0(2)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，f(x)＋f(5－x)＝－1．若函数y＝f(x)与y＝1-x2x-5图象的交点为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则的值为(　　)A．0　　B．nC．2n　　D．3n[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　中心对称的几种表述形式(1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点a+b2，c2成中心对称．(2)双曲线型函数f(x)＝cx+dax+b的图象的对称中心为-ba，ca.[跟进训练]2．(1)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　)A．f(x－1)－1　B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1　D．f(x＋1)＋1(2)(多选)以下函数的图象是中心对称图形的是(　　)A．f(x)＝2x2＋1　B．f(x)＝x3C．f(x)＝2x+1x-1　D．f(x)＝x1+x，x≥0，x1-x，x＜0考点三　两函数图象间的对称问题[典例3]　(1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)A．关于直线x＝1对称　B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称　D．关于点(3，0)对称(2)(多选)函数f(x)＝sinx的图象与g(x)＝cosx的图象关于某条直线对称，这条直线的方程可以是(　　)A．x＝π4　B．x＝3π2C．x＝－7π2　D．x＝－7π4[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b-a2对称．[跟进训练]3．设函数y＝f(x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f(3)＋f(9)＝1，实数m的值为________．5/5 5/5