2025年高考数学一轮讲义第2章 第2课时　函数的单调性与最值

第2课时　函数的单调性与最值[考试要求]　1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有_____________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做y＝f(x)的单调区间．提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有____________；②∃x0∈D，使得______________①∀x∈D，都有____________；②∃x0∈D，使得______________结论M为最大值M为最小值7/7 [常用结论]1．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增；(2)fx1-fx2x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)(2)若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数y＝f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)(4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－27/7 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时，－1<t<22．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________．4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f(x)＝21-x，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．考点一　确定函数的单调性(单调区间)　图象法、性质法确定函数的单调性[典例1]　(1)函数f(x)＝log12(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　)A．12，3　　　　B．-2，12C．(－2，3)　D．12，+∞(2)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　本例(2)的函数换成“y＝|－x2＋2x＋1|”，其单调递增区间是________．　定义法、导数法确定函数的单调性[典例2]　试讨论函数f(x)＝axx-1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　确定函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分等)7/7 、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直观地判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集．[跟进训练]1．(1)函数f(x)＝3－x2－2x的单调递增区间是(　　)A．[－1，＋∞)　B．(－∞，－1]C．(－∞，0)　D．(0，＋∞)(2)(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)A．f(x)＝－lnx　B．f(x)＝12xC．f(x)＝－1x　D．f(x)＝3|x-1|考点二　函数单调性的应用　比较函数值的大小[典例3]　已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f-12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c>a>b　B．c>b>aC．a>c>b　D．b>a>c[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解抽象不等式[典例4]　已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f13的x的取值范围是(　　)A．13，23　B．13，237/7 C．12，23　D．12，23[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求参数的取值范围[典例5]　(1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－1]　B．(－∞，2]C．[2，＋∞)　D．[5，＋∞)(2)(2024·山西朔州模拟)若函数f(x)＝x+ax-3，x≥4，ax-3，x＜4在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)A．1，43　B．1，43C．(1，2)　D．(1，2][听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数单调性应用问题的解题策略(1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域．(3)利用单调性求参数的取值(范围)，根据函数的单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到函数图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式．[跟进训练]2．(1)(多选)已知函数f(x)，∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)成立，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，fx2-fx1x2-x1＜0(x1≠x2)，以下说法正确的是(　　)A．f(0)＞f(－3)B．∀x∈R，f(x)≤f(－1)7/7 C．f(a2－a＋1)≥f34D．若f(m)＜f(2)，则－4＜m＜2(2)若函数f(x)＝x+a-3x-1在(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．考点三　求函数的值域或最值[典例6]　(1)(2024·山东烟台期末)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则f(x)的最小值为(　　)A．2.5　　B．3C．4　　D．5(2)若函数f(x)＝x-a2，x≤0，x+1x+a，x＞0的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)A．[－1，2]　B．[－1，0]C．[1，2]　D．[0，2][听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求函数最值的五种常用方法[跟进训练]3．(1)函数y＝1＋x－1-2x的值域为(　　)7/7 A．-∞，32　B．-∞，32C．32，+∞　D．32，+∞(2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[－1.1]＝－2．已知f(x)＝x+4x，x∈12，6，则函数f(x)的值域为________．7/7