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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第2章 第2节 函数的单调性与最值课时作业 理

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课时作业(五) 函数的单调性与最值一、选择题1.(2014·陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是(  )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=xD.f(x)=3x答案:D解析:根据各选项知,选项C,D中的指数函数满足f(x+y)=f(x)f(y).又f(x)=3x是增函数,所以D正确.故应选D.2.(2015·烟台模拟)下列函数中,满足x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)的是(  )A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)答案:A解析:由题意可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,结合四个选项可知,A正确.故应选A.3.(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0,且在(-∞,0)上单调递增,如果x1+x2<0且x1x2<0,则f(x1)+f(x2)的值(  )A.可能为0  B.恒大于0C.恒小于0  D.可正可负答案:C解析:由x1x2<0,不妨设x1<0,x2>0.∵x1+x2<0,∴x1<-x2<0.由f(x)+f(-x)=0,知f(x)为奇函数.又由f(x)在(-∞,0)上单调递增,得f(x1)<f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)<0.故应选C.4.(2015·潍坊模拟)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)最大值为(  )A.4B.5C.6D.7答案:C5\n解析:如图所示,在同一坐标系中作出y=x+2,y=2x,y=10-x(x≥0)的图象.根据f(x)定义,f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图实线部分.∴f(x)=令x+2=10-x,得x=4.当x=4时,f(x)取最大值f(4)=6.故应选C.5.(2015·青岛模拟)定义运算=ad-bc,若函数f(x)=在(-∞,m)上单调递减,则实数m的取值范围是(  )A.(-2,+∞)B.[-2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-2]答案:D解析:由定义知,f(x)=(x-1)(x+3)+2x=x2+4x-3=(x+2)2-7,易知f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)单调递增,由题意m≤-2,故应选D.二、填空题6.(2015·杭州模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________.答案:-6解析:f(x)=|2x+a|=作出函数图象(图略),由图象知,函数的单调递增区间为,∴-=3,即a=-6.7.若奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则不等式f(lgx)+f(1)>0的解集是________.答案:解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因为f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上也为单调递减函数,所以函数f(x)在R上为单调递减函数.不等式f(lgx)+f(1)>0可化为f(lgx)>-f(1)=f(-1),所以lgx<-1,解得0<x<.8.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a=________.5\n答案:解析:当0<a<1时,f(x)=ax在[-1,2]上的最大值为a-1=4,即a=,最小值为a2=m,从而m=,故g(x)=,即g(x)=,在[0,+∞)上是增函数.当a>1时,f(x)=ax在[-1,2]上的最大值为a2=4,解得a=2,最小值a-1=m,即m=,这时g(x)=(1-4m)=-在[0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去.所以a=.9.设函数f(x)=x-,对任意x∈[1,+∞),不等式f(mx)+mf(x)<0恒成立的实数m称为函数f(x)的“伴随值”,则m的取值范围是______________.答案:(-∞,-1)解析:由题意知,f(x)为增函数且m≠0.若m>0,由函数的单调性可知,f(mx)和mf(x)均为增函数,此时不符合题意.若m<0,则f(mx)+mf(x)<0可化为mx-+mx-<0,所以2mx-·<0,即1+<2x2,因为y=2x2在x∈[1,+∞)上的最小值为2,所以1+<2,即m2>1,解得m<-1.三、解答题10.设二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是M,m,集合A={x|f(x)=x}.(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M,m的值;(2)若A={1},且a≥1,记g(a)=M+m,求g(a)的最小值.解:(1)由f(0)=2,可知c=2.又A={1,2},故1和2是方程ax2+(b-1)x+c=0的两实根,所以解得所以f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2].当x=1时,f(x)min=f(1)=1,即m=1.当x=-2时,f(x)max=f(-2)=10,即M=10.(2)由题意,方程ax2+(b-1)x+c=0有两相等实根,∴即∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为x=-=1-,5\n又a≥1,故1-∈.∴M=f(-2)=9a-2,m=f=1-,g(a)=M+m=9a--1,又g(a)在[1,+∞)上单调递增,∴当a=1时,g(a)min=g(1)=.11.(2015·湖北模拟)若非零函数f(x)对任意函数x,y均有f(x)·f(y)=f(x+y),且当x<0时,f(x)>1.(1)求证:f(x)>0;(2)求证:f(x)为R上的减函数;(3)当f(4)=时,对a∈[-1,1]时恒有f(x2-2ax+2)≤,求实数x的取值范围.解:(1)证明:证法一:令y=0,得f(0)·f(x)=f(x),即f(x)[f(0)-1]=0,又f(x)≠0,∴f(0)=1.当x<0时,f(x)>1,-x>0.f(x)·f(-x)=f(0)=1,则f(-x)=∈(0,1).故对于x∈R恒有f(x)>0.证法二:f(x)=f=2≥0,∵f(x)为非零函数,∴f(x)>0.(2)证明:令x1>x2且x1,x2∈R,有f(x1)·f(x2-x1)=f(x2),又x2-x1<0,即f(x2-x1)>1,故=f(x2-x1)>1,又f(x)>0,∴f(x2)>f(x1).故f(x)为R上的减函数.(3)f(4)==f(2+2)=f2(2),故f(2)=,则原不等式可变形为f(x2-2ax+2)≤f(2),依题意有x2-2ax≥0对a∈[-1,1]恒成立.5\n∴解得x≥2或x≤-2或x=0.故实数x的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).12.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.解:(1)证明:任设x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.(2)任设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1.综上,a的取值范围为{a|0<a≤1}.5

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发布时间:2022-08-25 17:45:16 页数:5
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文章作者:U-336598

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