2025年高考数学一轮讲义第2章 第3课时　函数的奇偶性、周期性

第3课时　函数的奇偶性、周期性[考试要求]　1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2．会依据函数的性质进行简单的应用．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且____________________，那么函数f(x)就叫做偶函数关于____对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________________，那么函数f(x)就叫做奇函数关于____对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0．如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．2．函数周期性常用结论6/6 对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)．3．常见奇、偶函数的类型(1)f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；(2)f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)为奇函数；(3)f(x)＝ax-a-xax+a-x＝a2x-1a2x+1(a＞0且a≠1)为奇函数；(4)f(x)＝logab-xb+xa＞0且a≠1，b≠0为奇函数；(5)f(x)＝loga(x2+1±x)(a＞0且a≠1)为奇函数；(6)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数；(7)f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)(2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　)(3)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)(4)若函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．(　　)二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是(　　)A．f(x)＝2x4＋3x2　　B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝x2+1x　D．f(x)＝x3＋12．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2025)＝________．3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝6/6 ________．4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．考点一　函数奇偶性的判断[典例1]　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3-x2+x2-3；(2)f(x)＝(1＋x)1-x1+x；(3)f(x)＝x2+x，x<0，-x2+x，x>0；(4)f(x)＝log2(x＋x2+1)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断函数奇偶性的两个必备条件及方法(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．[跟进训练]1．(1)(多选)设函数f(x)＝ex-e-x2，则下列结论正确的是(　　)A．|f(x)|是偶函数　　B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数　D．f(|x|)f(x)是偶函数(2)已知函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋ax(a∈R)，讨论f(x)的奇偶性，并说明理由．6/6 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点二　函数奇偶性的应用　利用奇偶性求值(解析式)[典例2]　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln2x-12x+1为偶函数，则a＝(　　)A．－1　　B．0C．12　　D．1(2)(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)是定义在R上奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x2-2x+2，则f(x)＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)利用奇偶性求解析式，求谁设谁，自变量转移．　利用奇偶性解不等式[典例3]　(1)(2023·山东鄄城一中三模)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0的解集为(　　)A．(－2，4]　B．(－3，5]C．-52，2　D．(－2，2](2)(2024·湖南师大附中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(　　)A．(－∞，－2)∪52，4　B．(4，＋∞)C．-2，52∪(4，＋∞)　D．(－∞，－2)[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．[跟进训练]2．(1)(2024·安徽滁州模拟)函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若f(a)≥f13，则a的取值范围是(　　)A．13，+∞B．-∞，-13C．-13，13D．-∞，-13∪13，+∞(2)已知函数f(x)＝sinx＋x3＋1x＋3，若f(a)＝1，则f(－a)＝________．(3)(2023·福建漳州三模)已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)＝x2-x，0＜x≤1，x-1，1＜x≤2，则f-32＋f12＋f(0)＝________．考点三　函数的周期性[典例4]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f132＝(　　)A．－94　　B．－14C．14　　D．94(2)(2023·湖北二模)已知函数y＝f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k(k为常数)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋1，则f(2025)＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．[跟进训练]3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)f(x)的最小正周期是________；(2)当x∈[2，4]时，f(x)＝________；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝________．6/6