【名师伴你行】（新课标）2023高考数学大一轮复习 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性课时作业 理

课时作业(六)　函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2015·日照第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，则实数a的值可以是(　　)A.B．2C．4D．6答案：B解析：因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数f(x)关于x＝1对称，所以区间(3－2a，a＋1)关于x＝1对称，所以＝1，即a＝2，故应选B.2．(2014·山东)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)A．f(x)＝B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)答案：D解析：由题意可知，准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴．选项A，C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中函数的图象存在不是y轴的对称轴．故应选D.3．已知f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于(　　)A.B．1C．D．2答案：C解析：令x＝－1，则f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)，即f(1)＝－f(1)＋f(2)，∴f(1)＝.∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝.故应选C.4．(2015·盘锦模拟)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)5\nA．－B．－C．D．答案：A解析：根据题意知f＝f＝f＝－f＝－2××＝－.故应选A.5．(2015·北京模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)A．3B．1C．－1D．－3答案：D解析：∵f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，∴f(0)＝20＋2×0＋b＝0，即b＝－1，∴当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2×1－1)＝－3.故应选D.6．(2014·黑龙江、牡丹江4月)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则(　　)A．f＜f＜fB．f＜f＜fC．f＜f＜fD．f＜f＜f答案：B解析：由题设知，当x＜1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴f＝f＝f＝f，又＜＜＜1，∴f＞f＞f，故应选B.5\n二、填空题7．(2015·青岛质检)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，则f(2013)＋f(2014)＝________.答案：－1解析：由于函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)的周期为4，且f(1)＝－f(－1)＝－1，f(2)＝f(0)＝0，所以f(2013)＋f(2014)＝f(1)＋f(2)＝－1＋0＝－1.8．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．答案：－10解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f.从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.9．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为________．答案：－4解析：由题意知，当x>0时，F(x)≤8.∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x<0时，－x>0，∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8.∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.10．(2015·江苏南通一模)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1.则f＋f(1)＋f＋5\nf(2)＋f＝________.答案：解析：依题意，函数f(x)为奇函数且周期为2，∴f＋f(1)＋＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.三、解答题11．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．解：(1)f(x)＝要使函数f(x)有最小值，需∴－2≤a≤2，即当a∈[－2,2]时，f(x)有最小值．(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(0)＝0，设x>0，则－x<0，∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，∴g(x)＝12．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知－1<a5\n－2≤1，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．13．(2015·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，由f(－x)＝f(x)，可知函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)．∵f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－1，∴f(a)≠f(－a)，又a≠0，∴f(a)≠－f(a)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，a＝0时，f(x)为偶函数；a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)由f(1)＝2，可知1＋a＝2，即a＝1，所以f(x)＝x2＋.由f′(x)＝2x－可知，当x≥2时，f′(x)>0恒成立，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．5