2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（讲义）（解析版）

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性目录考点要求考题统计考情分析（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．2022年II卷第8题，5分2022年I卷第12题，5分2021年II卷第8题，5分2021年甲卷第12题，5分从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 1、函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数的定义域为，区间：如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．①属于定义域内某个区间上；②任意两个自变量，且；③都有或；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2、函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数关于原点对称判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3、函数的对称性(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．(3)若，则函数关于对称．(4)若，则函数关于点对称．4、函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.【解题方法总结】1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．2、奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数或函数．②函数．③函数或函数④函数或函数．注意：关于①式，可以写成函数或函数．偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧4、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.5、对称性技巧（1）若函数关于直线对称，则．（2）若函数关于点对称，则．（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【答案】C【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C例2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（    ）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.故选：A.例3．下列函数中，满足“”的单调递增函数是A．B． C．D．【答案】D【解析】由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D．考点：幂函数、指数函数的单调性．变式1．函数的单调递增区间是（    ）A．B．和C．和D．和【答案】B【解析】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.变式2．（江苏省泰州市海陵区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）在上递减，理由如下：任取，且，则 ，因为，且，所以，，所以，即，所以在上递减；（2）由（1）可知在上递减，所以由，得，解得，所以实数的取值范围为.变式3．（2023·全国·高三专题练习）设，，证明：函数是x的增函数．【解析】证明：当，在伯努利不等式定理3中取，，则有，即，则有，从，即.所以当时，是x的增函数．变式4．（2023·上海静安·高三校考期中）已知函数，且.(1)求的值，并指出函数的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.【解析】（1）因为，又，所以，所以，，此时，所以为奇函数； （2）任取，则，因为,所以,所以,所以即，所以函数在上是增函数.【解题总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例4．函数的单调递减区间为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，得，解得或，所以函数的定义域为，令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：D.例5．（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三下学期期末数学试题）函数的单调递减区间为（    ）A．B．C．D．【答案】A 【解析】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A例6．（陕西省榆林市2022-2023学年高三下学期阶段性测试）函数的单调递增区间为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，，解得，又函数在定义域内为单调增函数，且函数在内为单调增函数根据复合函数的单调性可知：的单调增区间为选项C正确，选项ABD错误.故选：C.【解题总结】讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减 减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例7．（河南省2023届高三下学期仿真模拟考试数学试题）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______．【答案】【解析】因为为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则，，即，因为函数为增函数，且，所以，．易知在上为增函数，且，，则在上的值域为．故答案为：.例8．（上海市静安区2023届高三二模数学试题）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.【答案】【解析】函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立， 所以，所以函数的值域为．故答案为：．例9．（河南省部分学校大联考2022-2023学年高三下学期3月质量检测）已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为__________.【答案】【解析】由题意得，所以，因为切线与直线垂直，而的斜率为，所以切线斜率为2，即，解得，所以，且，显然是增函数，当时，，所以在上单调递增，故.故答案为：变式5．（新疆乌鲁木齐市第八中学2023届高三上学期第一次月考）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.【答案】3【解析】∵函数，由复合函数的单调性知，当时，在上单调递减，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为，即，显然不合题意，故实数.故答案为：3 【解题总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．题型四：利用函数单调性求参数的范围例10．已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】对任意的实数，都有,即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C例11．（吉林省松原市2022-2023学年高三上学期第一次月考）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数在区间内有意义， 则，设则，(1)当时，是增函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递增，则需使，对任意恒成立,即对任意恒成立；因为时，所以与矛盾，此时不成立.(2)当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，又，所以.综上，的取值范围是故选：B例12．（四川省广安市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，， 在中，函数单调递增，∴，解得：，故选：C.变式6．（江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，所以实数的取值范围是.故选：D变式7．（天津市复兴中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）．A．B．C．或D．或【答案】C【解析】函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性，所以或，即或.故选：C【解题总结】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．1、若在上恒成立在上的最大值．2、若在上恒成立在上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例13．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是R上的偶函数，所以函数的对称轴为，又因为对任意，，且都有成立．所以函数在上单调递增，而，，，所以，所以，因为函数的对称轴为，所以，而，因为，所以，所以，所以．故选：A．例14．（多选题）（甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数 在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（　　）A．B．C．D．【答案】BD【解析】函数在区间上是单调函数，又，且，故此函数在区间上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数．对于A，，故，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确．故选:BD.例15．（2023届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数是奇函数，不符合；函数是偶函数，但是在上单调递减，不符合；函数不是偶函数，不符合；函数既是偶函数又在区间上单调递增，符合.故选：D【解题总结】1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例16．利用图象判断下列函数的奇偶性：(1) (2)(3)；(4)；(5).【解析】（1）函数的定义域为，对于函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图所示，函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；（2）函数的定义域为，对于函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图所示，函数图象关于y轴对称，故为偶函数； （3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得的图象，如图实线部分．由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象，如图，由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，所以该函数为非奇非偶函数；（5）函数，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，画出函数的图象，如图，由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数. 例17．（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数，在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意；对于B，设，函数的定义域为R，且满足，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意；对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数为奇函数，又函数在上单调递减，故D不符合题意.故选：B.例18．（多选题）（黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是偶函数【答案】CD【解析】因为函数的定义域都为R，所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，因为，所以函数是奇函数，故A错误；对于B，因为，所以函数是偶函数，故B错误；对于C，因为，所以函数是奇函数，故C正确；对于D，因为，所以函数是偶函数，故D正确.故选：CD.变式8．（北京市海淀区2023届高三二模数学试题）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A,的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故为偶函数，故C错误，对于D，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，故选：D【解题总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例19．（四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高三下学期第二次联考）已知函数是偶函数，则______．【答案】-1【解析】定义域为R，由得：，因为，所以，故. 故答案为：-1例20．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试）若函数是偶函数，则__________．【答案】1【解析】∵为偶函数，定义域为，∴对任意的实数都有，即，∴，由题意得上式对任意的实数恒成立，∴，解得,所以故答案为：1例21．（湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题）已知函数，若是偶函数，则______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以，，即，解得.故答案为：.变式9．若函数为偶函数，则__________.【答案】2【解析】∵函数为偶函数∴即又∵∴故答案为：【解题总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例22．（2023年高三数学押题卷五）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（    ）A．B．C．0D．【答案】C【解析】由函数是奇函数，函数是偶函数，，故，即，将该式和相减可得，则，故选：C例23．（广东省湛江市2023届高三二模数学试题）已知奇函数则__________．【答案】【解析】当时，，，则．故答案为：.例24．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．【答案】【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，，设，则，则，所以.综上所述，. 故答案为：变式10．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，，因为①，则②，所以①+②得，所以．故选：A．【解题总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.题型九：已知奇函数+M例25．（宁夏银川一中、昆明一中2023届高三联合二模考试数学试题）已知函数，若，则（    ）A．B．0C．1D．【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.例26．（河南省济洛平许2023届高三第四次质量检测数学试题）已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．B．C．D．【答案】A【解析】由于为奇函数，所以，由得，由于所以，当且仅当时取等号，故的最小值为，故选：A例27．（重庆市巴蜀中学2023届高三高考适应性月考数学试题）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于(    )A．0B．10C．D．【答案】C【解析】令，则，∴f(x)和g(x)在上单调性相同，∴设g(x)在上有最大值，有最小值.∵，∴，∴g(x)在上为奇函数，∴，∴，∴，.故选：C.变式11．（福建省福州格致中学2022-2023学年高三下学期期中考数学试题）已知函数，若，则（    ）A．等于B．等于C．等于D．无法确定【答案】C【解析】设，显然定义域为， 又，则，所以是上的奇函数；又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数，因此，则.故选：C.【解题总结】已知奇函数+M，，则（1）（2）题型十：函数的对称性与周期性例28．（多选题）（2023·山东烟台·统考二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（    ）A．是奇函数B．C．的图象关于直线对称D．【答案】ABD【解析】对于选项，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则正确；对于选项，∵，∴，∴,∴的周期为，∴，则正确；对于选项，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；对于选项，将代入，得，将，代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴ ，则正确.故选：ABD.例29．（多选题）（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数，则下列结论正确的是（    ）A．B．的图像关于点对称C．D．【答案】ABD【解析】因为是奇函数，所以．因为，所以，所以，则正确；因为，所以，所以，因为，所以，则的图像关于点对称，则B正确；因为，所以，所以（为常数），所以（为常数）．因为，所以．令，得，所以，则．因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以，即是周期为4的周期函数．因为，所以，所以，所以，即是周期为4的周期函数．因为，所以，，所以，，，则，，故，，即C错误，D正确.故选：ABD.例30．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（    ） A．4为函数的一个周期B．函数的图象关于点对称C．D．【答案】ABC【解析】由得，由求导得，又得，所以，所以，所以，所以，所以4为函数的一个周期，A正确；，故，因此，故函数的图象关于点对称，B正确，在中，令由得为常数，故，由函数的图象关于点对称，，因此，所以由于的周期为4，所以的周期也为4，由于，所以，，所以，故C正确，由于,故D错误，故选:ABC变式12．（多选题）（2023·山东滨州·统考二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（    ）A．的图象关于点对称B．8是的一个周期C．一定存在零点D． 【答案】ACD【解析】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确，由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而，所以的图象关于对称，对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确，对于B，，所以8不是的周期，故选：ACD【解题总结】（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.题型十一：类周期函数例31．（2023·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则 ∵，∴即∵时，恒成立，∴只需.当时，最小值为（当时）；当时，最小值为（当时），∴所以只需，解得：或∴实数的取值范围是故选：D例32．（2023·江西南昌·高三校考期中）已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.当时，则，，所以，，显然当时，，故，，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，，令，解得， 令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为，所以.故选：C.例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，因为时，，所以,因为函数满足，所以，所以，，又因为，恒成立，故，解不等式可得或.变式13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．若函数有4个零点，则实数的取值范围为B．关于的方程有个不同的解C．对于实数，不等式恒成立 D．当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为【答案】ABD【解析】∵，则在的图象是将的图象沿轴方向伸长为原来的3倍、沿轴方向缩短为原来的一半∴则在上单调递增，在上单调递减∴在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为对于A，令，即，则与有四个交点作出时的图象，如图1：分别与连线的斜率为结合图象可得：实数的取值范围为，A正确；对于B，令，则∴方程的根的个数即为与的交点个数当时，的最大值为∴与有且仅有一个交点，当时，则有：①当时，在上的最大值为，则与在内有两个交点∴当，与有交点 ②当，则在上的最大值为∴与有且仅有一个交点③当时，在上的最大值为，则与在内没有交点∴当，与没有交点∴当，与的交点个数为当时，也成立∴关于的方程有个不同的解，B正确对于，因为图象过点，令，则，C错误对于D，由题意可得：当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，其底边长为，高为∴当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为故选：ABD.【解题总结】1、类周期函数若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．类周期函数图象倍增函数图象2、倍增函数若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例34．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数在上的单调性.【解析】（1）依题意，.∴∴，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.（2）由④知，，∵，，，∴，∴即在上单调递增.例35．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ）A．B．为奇函数C．在上是减函数D．方程仅有6个实数解【答案】C 【解析】由题设，则关于对称，即，，则关于对称，即，所以，则，故，所以，即，故，所以的周期为8，，A正确；由周期性知：，故为奇函数，B正确；由题意，在与上单调性相同，而上递增，关于对称知：上递增，故上递增，所以在上是增函数，C错误；的根等价于与交点横坐标，根据、对数函数性质得：，，所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.故选：C例36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知是定义在上的偶函数，则，又对任意，且，都有，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以，根据函数的单调性可知：等价为或， 即或，解得或，即不等式的解集为.故选：.变式14．（四川省遂宁市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①   ②（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：为奇函数；【解析】解析：假设存在一次函数，设则，   ，所以，.，故满足条件的一次函数为：（2）定义在上的函数对任意的，  都有成立，令，则，得令，则  所以，即，于是∴为奇函数.变式15．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.【解析】（1）依题意，.（2）由（1）知，∴，即，∴，又因为的定义域为，所以函数为偶函数. 变式16．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）．A．是偶函数B．的周期C．D．在单调递减【答案】ABC【解析】由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，A正确；由，令，可得，则，则的周期，B正确；，故C正确；又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，故D错误.故答案为：ABC【解题总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若，则(正比例函数)(2)若，则(指数函数)(3)若，则(对数函数)(4)若，则(幂函数)(5)若，则(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例37．（广西2023届高三毕业班高考模拟测试数学试题）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】D 【解析】∵函数为偶函数，∴，即，∴函数的图象关于直线对称，又∵函数定义域为，在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴由得，，解得.故选：D.例38．（北京市西城区第五十六中学2023届高三数学一模试题）已知函数，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即函数的定义域为．因为，所以为上的偶函数，当时，，因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，又都是在上单调递减，根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集为.故选：D 例39．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①因为函数为偶函数，则，②联立①②可得，令，则，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，故当时，，所以，函数在上为增函数，由可得，所以，，整理可得，解得.故选：B.变式17．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，所以在上单调递增，由，得，当时，由，得，当时，由，得，所以原不等式的解集为.故选：A.变式18．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式 成立的的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，由得，故为偶函数，当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此为上的单调递增函数，所以不等式等价于，解得,故选：C变式19．（2023·四川成都·校考三模）已知函数,则不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数，所以，令，可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上单调递增，又由，所以函数为偶函数，则在上单调递减，又由，即，即，整理得，解得或， 即不等式的解集为.故选：B.变式20．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）A．B．C．∪D．∪【答案】A【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为奇函数，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上单调递增，所以可化为，即，所以，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A变式21．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知函数，若，则实数范围是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，令，则，又由，当且仅当，即时，等号成立，所以，则，则在上单调递减，又由，故函数为奇函数，由可化为，故，即， 又在上单调递减，则，解得，即.故选：C．变式22．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，当当x<0时，f（x）＝x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）＝f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a恒成立，即a≥﹣x恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max（a+2），即a（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故选：【解题总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A．B．C．0D．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ）A．B．C．D．【答案】D 【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.