2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第01讲 函数的概念（讲义）（解析版）

第01讲函数的概念目录考点要求考题统计考情分析（1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域．（2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．（3）了解简单的分段函数，并会简单的应用．2022年浙江卷第14题，5分2021年浙江卷第12题，5分高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 1、函数的概念（1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为．（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．2、函数的三要素（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3、函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．【解题方法总结】1、基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切的定义域是且；（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．2、基本初等函数的值域（1）的值域是．（2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为．（3）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．题型一：函数的概念例1．（2023·山东潍坊·统考一模）存在函数满足：对任意都有（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误；对于B,令，则，令，则，不符合函数定义，B错误；对于C,令，则，令，则，不符合函数定义，C错误；对于D,,,则，则存在时，，符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确， 故选：D例2．（2023·重庆·二模）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含，故选：A．例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求故选：D变式1．（2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ）A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多个【答案】B【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B.【解题方法总结】利用函数概念判断题型二：同一函数的判断例4．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ）．A．， B．，C．，D．，【答案】C【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；故选：C例5．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，故选：.例6．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）A．， B．C．，D．，，0，，，，0，【答案】D【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于B：，，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，对于D：对应点的坐标为，，，对应点的坐标为，，，两个函数对应坐标相同，是同一函数，故选：D．【解题方法总结】当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．题型三：给出函数解析式求解定义域例7．（2023·北京·高三专题练习）函数的定义域为________.【答案】【解析】令，可得，解得.故函数的定义域为.故答案为:.例8．（2023·全国·高三专题练习）若，则_________.【答案】或【解析】由有意义可得，所以或，当时，，，当时，，，故答案为：或.例9．（2023·高三课时练习）函数的定义域为______． 【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得.所以函数的定义域为.故答案为：.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足，则函数的定义域为___________.【答案】【解析】由可得，即，所以，代入即，解得或（舍），则所以解得所以函数定义域为故答案为:变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设有，由得，故选A.【解题方法总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式．题型四：抽象函数定义域例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的 定义域为_____【答案】【解析】令，由得：，所以，即，所以，函数的定义域为.故答案为：例11．（2023·高三课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，解得或，故函数的定义域为.故答案为：.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为_______.【答案】【解析】因的定义域为，则当时，，即的定义域为，于是中有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______【答案】 【解析】由函数的定义域是，得到，故即.解得:；所以原函数的定义域是：.故答案为：.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】由解得，所以函数的定义域为.故答案为：【解题方法总结】1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．题型五：函数定义域的应用例13．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】的定义域是R，则恒成立，时，恒成立，时，则，解得，综上，．故答案为：． 例14．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．【答案】【解析】依题可知，的解集为，所以，解得．故答案为：．例15．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】因为函数的定义域为R，所以的解为R，即函数的图象与x轴没有交点，（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.综上：实数的取值范围是.故答案为：变式6．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域是R，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由函数的定义域为R,得恒成立,化简得恒成立,所以由解得:.故答案为:.【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论．题型六：函数解析式的求法例16．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：(1)已知，求的解析式； (2)已知，求的解析式；(3)已知是一次函数且，求的解析式；(4)已知满足，求的解析式.【解析】(1)设，，则∵∴，即，(2)∵由勾型函数的性质可得，其值域为所以(3)由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，∴解得∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①∴将x用替换，得，②由①②解得f(x)=3x.例17．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求的解析式(1)已知满足(2)已知是一次函数，且满足；(3)已知满足【解析】（1）令，则，故，所以；（2）设，因为，所以， 即，所以，解得，所以；（3）因为①，所以②，②①得，所以.例18．（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式．(1)已知，则的解析式为__________．(2)已知满足，求的解析式．(3)已知，对任意的实数x，y都有，求的解析式．【解析】（1）方法一（换元法）：令，则，．所以，所以函数的解析式为．方法二（配凑法）：．因为，所以函数的解析式为．（2）将代入，得，因此，解得．（3）令，得，所以，即．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的解析式.【解析】由，令，则， 所以，所以.变式8．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为______.【答案】【解析】中，令，解得，令得，故，不妨设，满足要求.故答案为：变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______．【答案】．【解析】∵定义在上的单调函数，对任意都有，令，则，在上式中令，则，解得，故，由得，即，在同一坐标系中作出函数和的图像， 可知这两个图像有2个交点，即和，则方程的解集为．故答案为：.【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．（2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法．（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出．题型七：函数值域的求解例19．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的值域（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）.【解析】（1）分式函数，定义域为，故，所有，故值域为； （2）函数中，分母，则，故值域为；（3）函数中，令得，易见函数和都是减函数，故函数在时是递减的，故时，故值域为；（4），故值域为且；（5），而，，，，即，故值域为；（6）函数，定义域为，令，所以，所以，对称轴方程为，所以时，函数，故值域为；（7）由题意得，解得，则，故，，，由y的非负性知，，故函数的值域为；（8）函数，定义域为，，故，即值域为；（9）函数，定义域为， 故，所有，故值域为；（10）函数，令，则由知，，，根据对勾函数在递减，在递增,可知时，，故值域为.例20．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为__．【答案】【解析】因为函数的值域是，所以函数的值域为，则的值域为，所以函数的值域为．故答案为：．例21．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____【答案】【解析】表示点与点连线的斜率，的轨迹为圆，表示圆上的点与点连线的斜率，由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在， 则设过的圆的切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得：，结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，即的值域为.故答案为：.变式10．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.【答案】/【解析】因为，令，则，令，，因为函数在上单调递增，所以，即，则，即函数的最大值为，当且仅当时取等号.故答案为：变式11．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.【答案】【解析】由有意义可得，所以，的定义域为，， 设，则，，则.故答案为：．【解题方法总结】函数值域的求法主要有以下几种（1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数．（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析．（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法．（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域．题型八：分段函数的应用例22．（2023·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数，则（    ）A．-6B．0C．4D．6【答案】A【解析】由分段函数知：当时，周期，所以，所以．故选：A 例23．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数且，则（    ）A．-16B．16C．26D．27【答案】C【解析】当时，，当时，，所以，故选：C例24．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D变式12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使的可以是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】①当时，由，可得，若时，则，此时无解，若时，由，解得；②当时，由，可得或. 若时，则，由可得，方程无解，若时，由可得或，由可得或.综上所述，满足的的取值集合为.故选：BCD.变式13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数a的值可能为（    ）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】根据题意，函数，当时，，其中当时，，此时，解可得，符合题意；当时，，此时，解可得或，符合题意；当时，必有，此时，变形可得或，若，解可得，若，无解；综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；故选：ACD．【解题方法总结】1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B2．（2014·江西·高考真题）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】由题意得，所以，解得a=.故选：A3．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．【答案】/【解析】由已知，，所以，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，等价于，所以，所以的最大值为.故答案为：，.