2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.4　函数的对称性

§2.4　函数的对称性考试要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(　×　)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　×　)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　)教材改编题1．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)A．(0,0)B．(0,1)C．(1,0)D．(1,1)答案　B解析　因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位长度得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称．10 2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．答案　f(－4)>f(1)解析　∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称，又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(－4)＝f(0)>f(1)，故f(－4)>f(1)．3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.答案　5解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.题型一　轴对称问题例1　(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)等于(　　)A．－2B．2C．0D．－4答案　B解析　定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．则f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．答案　(2,4)解析　∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，10 ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．又f(x－1)>f(1)，∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，解得2<x<4，∴原不等式的解集为(2,4)．思维升华　函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)A．f(－1)<f(1)<f(2)B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1)D．f(－1)<f(2)<f(1)答案　D解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1)．(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为(　　)A．2B．3C．4D．－1答案　C解析　根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称，那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和，因为f(x)＝log2(3x－1)在上单调递增，所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.题型二　中心对称问题例2　(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是10 (　　)A．f(x)＝f(－x)B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0C．f(－x)＝－f(x＋4)D．f(x＋2)＝f(x－2)答案　ABC解析　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．答案　4解析　因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.思维升华　函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称．跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于(　　)A．点(－2,0)对称B．直线x＝－2对称C．点(2,0)对称D．直线x＝2对称答案　C解析　∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称．(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　)A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋110 答案　D解析　因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．题型三　两个函数图象的对称例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)A．关于直线x＝1对称B．关于直线x＝3对称C．关于直线y＝3对称D．关于点(3,0)对称答案　A解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．思维升华　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．跟踪训练3　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象(　　)A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称答案　C解析　A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确；D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误．课时精练10 1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　)A．(－1,2)B．(1,2)C．(－1，－2)D．(－2,1)答案　A解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)A．1B．2C．0D．－2答案　B解析　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于(　　)A．－1B．1C．0D．3答案　B解析　∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－x)＝f(x＋2)，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1.4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是(　　)A．f(x－1)－1B．f(x＋1)＋1C．f(x)－1D．f(x)＋1答案　C解析　∵f(－x)＋f(x)＝2，∴f(x)的图象关于(0,1)对称，将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，∴y＝f(x)－1为奇函数．5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(lnx)>f(1)的解集为(　　)10 A．(－∞，e)∪(e3，＋∞)B．(1，e2)C．(e，e3)D．(e，＋∞)答案　C解析　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(lnx)>f(1)需满足|lnx－2|<|1－2|⇒1<lnx<3，解得e<x<e3.6．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　)A．f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(x)在[0,1]上单调递增C．f(x)在[1,2]上单调递减D．f(2)＝f(0)答案　AD解析　根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，则有f(2)＝f(0)，故D正确；若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________．答案　y＝e2－x解析　f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.答案　2sin x(答案不唯一)10 解析　由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x.9．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>；(2)求函数g(x)＝图象的对称中心．解　(1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1，所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数，f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数，由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22，所以2x＋1>2，解得x>，因此不等式f(x)>的解集为.(2)g(x)＝＝，则g(－x)＝，所以g(x)＋g(－x)＝＝2，因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0,1)．10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，10 即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)．(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．11．(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是(　　)A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称答案　ABD解析　对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确；对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确．12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________.答案　2n解析　因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位长度得到函数f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n.10 13．已知函数f(x)＝则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)A．0对B．1对C．2对D．3对答案　B解析　作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点．14．已知函数f(x)＝则满足f(2＋log4x)>f(1－log4x)的x的取值范围是(　　)A.B.C．(0,2)D．(2，＋∞)答案　A解析　当x≤2时，f(x)＝x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4，当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4，则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，由f(2＋log4x)>f(1－log4x)可得|2＋log4x－2|>|1－log4x－2|，即|log4x|>|1＋log4x|，不等式|log4x|>|1＋log4x|两边平方得log4x<－，解得0<x<.10