新高考数学函数压轴专题3 函数的周期性、对称性（解析版）

专题3函数的周期性、对称性1．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．【解析】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，，即，的周期为.时，，，，，周期为4，，当，当，做出函数图像，如下图所示：令，当，，，两边平方得，， 此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数在内与直线只有一个交点，则满足，周期为4，范围也表示为，所以所有的取值范围是.故选:D.2．设函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x-2)=-f(x)对一切x∈R恒成立，当-1≤x≤1时，f(x)=x3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数．②f(x)在[1，3]上的解析式为f(x)=(2-x)3．③f(x)在处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是(　　)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【解析】 当时,当时,,所以切线方程为f(x)的图象关于x=±1对称,因此选D.3．设函数fx为定义域为R的奇函数，且fx=f2-x，当x∈0,1时，fx=sinx，则函数gx=cosπx-fx在区间-52,92上的所有零点的和为（）A．6B．7C．13D．14【解析】由题意，函数f(-x)=-f(x)，f(x)=f(2-x)，则-f(-x)=f(2-x)，可得f(x+4)=f(x)，即函数的周期为4，且y=f(x)的图象关于直线x=1对称．g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间[-52，  92]上的零点，即方程|cos(πx)|=f(x)的零点，分别画y=|cos(πx)|与y=f(x)的函数图象，∵两个函数的图象都关于直线x=1对称，∴方程|cos(πx)|=f(x)的零点关于直线x=1对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．4．定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（)A．15B．16C．17D．18【解析】定义在上的奇函数满足，得即则的周期为8．函数的图形如下：比如，当不同整数分 别为-1，1，2，5，7…时，取最小值，，至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D5．已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】因为偶函数满足，所以，即，所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，当时，，函数递增；当时，，函数递减；当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：因为不等式在上有且只有150个整数解，所以不等式在上有且只有3个整数解， 当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，因为，所以，即，故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，所以，，即，故选：B6．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（）A．或B．1或C．或2D．或1【解析】解：已知，①且，分别是上的偶函数和奇函数，则，得：，②①+②得：，由于关于对称，则关于对称，为偶函数，关于轴对称，则关于对称，由于有唯一零点， 则必有，，即：，解得：或.故选：A.7．已知函数为R上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当(0，3)时，，则函数在区间上的（）A．最小值为B．最小值为C．最大值为0D．最大值为【解析】函数的图像关于点对称，.又函数为奇函数，，函数是的周期函数，，，由周期性可知，函数在区间上的图像与在区间上的图像一样，又当时，，由指数函数性质知在区间上单调递减，又函数为R上的奇函数，故当时，，故在上单调递减，且，所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减，函数取得最小值.故函数在区间上的最小值为故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：（1）若，则函数的；（2）若，则函数的； （3）若，则函数的；（4）函数关于直线与对称，那么函数的；（5）若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的；（6）若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的8．已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则下列结论错误的是（）A．方程=0最多有四个解B．函数的值域为[]C．函数的图象关于直线对称D．f(2020)=0【解析】由可得：，则，所以函数的周期为2，所以，正确，排除D；再由以及，所以，则函数的对称轴为，正确，排除C；当时，，，又函数是奇函数，时，，，即时，又因为函数的对称轴为，所以时，所以时又因为函数的周期为2， 所以函数的值域为，正确，排除B；故选：．9．已知定义在上的函数满足，且当时，，函数，实数，满足.若，，使得成立，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【解析】当时，，令可得.∵，∴的周期为2，所以在[－1，5]的图象所示：结合题意，当，时，取得最大值.最大值为1.故选：B.10．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A．30B．14C．12D．6【解析】由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，∴， ∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.11．已知、都是定义域为的连续函数.已知：满足：①当时，恒成立；②都有.满足：①都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D． 【解析】因为都有，所以是偶函数，又当时，恒成立，所以在上单调递增，所以等价于，只需，.因为都有，即，所以是周期函数，周期为2，当时，，所以，故时，，求导得，，令，解得，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以时，，所以，又因为，所以，则，解得或.所以实数的取值范围是.故选：D.二、多选题12．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则（） A．是周期为2的函数B．C．的值域为D．在上有4个零点【解析】解：对于A，为偶函数，其图像关于轴对称，把的图像向右平移1个单位得到的图像，所以图象关于对称，即，所以，为上的奇函数，所以，所以，用替换上式中的得，，所以，，则是周期为4的周期函数.故A错误.对于B，定义域为R的奇函数，则，是周期为4的周期函数，则；当时，，则，则，则.故B正确.对于C，当时，，此时有，又由为上的奇函数，则时，，，函数关于对称，所以函数的值域.故C正确.对于D，，且时，，，，，，①时，，此时函数的零点为0，2；是奇函数，，②时，的周期为，，，此时函数零点为4； ③时，，，此时函数零点为6；④时，，，此时函数无零点；综合以上有，在上有4个零点.故D正确；故选：BCD13．已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________①对任何，都有；②函数的值域是；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”；【解析】对于①，对任何，都有，当时，，所以，①正确；对于②，取从而函数的值域为[0，+∞），②正确；对于③，时，，对任意，恒有成立，，所以解得，∴③正确；对于④，充分性：令则 所以必要性：令，由函数在区间上单调递减，所以即，又当时，，且为减函数，所以存在，使得，则，所以⊆∴函数在区间⊆上单调递减，④正确；综上所述，正确结论的序号是①②③④．故答案为①②③④．14．定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：____.①对，有；②函数的值域为；③存在，使得；【解析】 因为,所以①对;因为当时，，当时，，当时，，当时，，因此当时，，从而函数的值域为；所以②对;因为，所以由上可得,即，无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②15．已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是__________．【解析】因为函数定义域为R，周期为3，所以如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在上的零点为 所以共有9个零点16．已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【解析】试题分析：由于定义域为的奇函数满足，∴函数为周期函数，且周期为8，当时，，函数在区间上的零点的个数，即为函数与的交点的个数，作出函数上的函数的图象，显然，当时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为.17．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______. 【解析】已知定义在上的函数若在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，联立可得有两个解，即可设，则，进而且不恒为零，可得在单调递增.由可得时，单调递减；时，单调递增，即在处取得极小值且为作出的图象，可得时，有两个解.故答案为：18．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则下列命题：①对任意，都有；②函数在上递减，在上递增； ③函数的最大值是1，最小值是0；④当时，.其中正确命题的序号有_________.【解析】由题意，函数对任意的恒有，可得，所以①正确；由时，为单调递增函数，因为函数是定义在上的偶函数，可得时，函数为单调递减函数，又由函数的周期为，可得函数在上递减，在上递增，所以②正确；由②可得，当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为，根据函数的周期性，可得函数的最大值为，最小值为，所以③不正确；当时，则，可得，所以④正确.故答案为：①②④.19．已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________.【解析】解：因为是定义在上的奇函数，且满足所以，所以的最小正周期为又因为数列满足，且①； 当时，②；①减②得，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即所以又所以被除余所以故答案为：020．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出下列关于函数的四个结论：①函数的定义域为，值域为；②函数的图象关于直线对称；③函数在上是增函数；④函数是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.【解析】因为，函数，所以当时，，当时，，当时，，当时，，函数图象如图所示： 由图象可知：①函数的定义域为，值域为，故正确；②函数的图象关于直线对称，故正确；③函数在上不单调，故错误；④其函数关于y轴对称，所以是偶函数，故正确.故答案为：①②④