2024年高考数学一轮复习： 函数与基本初等函数 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（练习）（解析版）

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（模拟精练+真题演练）1．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】偶函数的图象关于点中心对称，则，且，故，，故函数为周期为的函数，.故选：C2．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，则，同理，当时，，则，且，可知函数为奇函数；当时，，则，令，则，所以在单调递增，即，即，所以在单调递增，且为奇函数，所以在上单调递增.则， 即，即，可得，且，所以，解得，所以解集为.故选:A3．（2023·河南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（    ）A．0B．C．1D．【答案】A【解析】因为是定义在R上的奇函数，且满足，所以，，则，即，则，即是以为周期的周期函数，又，当时，，所以.故选：A4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由为奇函数，得，即，又由为偶函数，得，即，于是，即，因此的周期为8，又当时，，则在上单调递增，由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，，，，，显然，即有，即， 所以a，b，c的大小关系为.故选：D5．（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数由关系式确定，函数，则（    ）A．为增函数B．为奇函数C．值域为D．函数没有正零点【答案】D【解析】由题意，在函数中，，可知画以下曲线：，，．这些曲线合并组成图象，是两段以为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．因为作图象在轴右侧部分包括点关于x轴对称，得到曲线，再作关于坐标原点对称，去掉点得到曲线，与合并组成图象．由图象可知，不是奇函数，不是增函数，值域为R．当时，图象与图象没有公共点，从而函数没有正零点．故选：D.6．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（    ）A．-4052B．-4050C．-1012D．-1010【答案】A 【解析】因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数.由是奇函数可知，，所以，则，则，所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.由得，，则，所以，由得，，即，所以,由，得，又1，所以；在中，令，得，所以..故选：A.7．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，都是定义在R上的函数，是奇函数，是偶函数，且，，则（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以．由知，，所以，则为偶函数．由是奇函数可知，，所以，则，则，所以，所以，则，所以，则4为的一个周期．由得，，则，所以，由得，，即，所以．由，得，又1，所以；在中，令，得，所以．. 故选：A．8．（2023·江西九江·统考三模）已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】C【解析】是奇函数，，即的图象关于点对称，又在上单调递增，在上单调递增，即在上单调递增.由，可得，由图像关于直线对称可知为偶函数，∴在上单调递减，，，是周期函数，最小正周期为4，∵，，∴在上的单调性和在上的单调性相同，在上单调递减.故选：C.9．（多选题）（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，为偶函数，则（    ）．A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，则，则函数关于点成中心对称，且，故选项A错误；因为，令，则，故选项B正确；因为，即两边同时求导，则有，所以函数关于直线对称， 因为函数为偶函数，所以，即，两边同时求导，则有，所以关于成中心对称，则导函数的周期为，所以，故选项C正确；因为函数关于直线对称，且，所以，故选项D正确，故选：BCD.10．（多选题）（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（    ）A．B．C．1D．2【答案】AD【解析】令，则，因为，所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.因为，所以，等价于，即，所以，即，解得或，所以实数的取值范围为.故选：AD11．（多选题）（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数，则（    ）A．在上最大值为2B．有两个零点C．的图像关于点对称D．存在实数，使的图像关于原点对称【答案】AC【解析】对于，，在上单调递增，，故正确； 对于的零点个数即方程的实根个数，即方程的实根个数，即与图像的交点个数.在同一坐标系中画出与图像如图所示：两个函数图像只有一个交点，故B错误；对于，若的图像关于点对称，则有对任意恒成立.恒成立，的图像关于点对称，故正确；对于，若存在实数使的图像关于原点对称，则为奇函数.令对任意恒成立，即恒成立，即对任意恒成立，则，上述方程组无解，故错误.故选：AC.12．（多选题）（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，则（    ）A．为偶函数B．的图象关于点中心对称C．是奇函数D．【答案】AD 【解析】由的图象关于直线对称，可得，即，令，则，即，故为偶函数，A正确；又因为，令等价于，则①，令等价于，②，②减①可得：，故的周期为4，又，所以③，令等价于，则④，因为为偶函数，③减④可得：，故是偶函数，故C不正确；令中，可得，解得：，故B不正确；令中，可得，因为，则，令中，可得，因为，则，由，因为的周期为4，且，则，，故D正确.故选：AD.13．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】令，因为，所以函数为奇函数，由函数都是增函数，可得为增函数，，则不等式，即为，即， 即，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.14．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知定义在上的函数满足，为奇函数，则_________．【答案】【解析】为定义域为的奇函数，，解得：；由得：，是周期为的周期函数，.故答案为：.15．（2023·河南·校联考模拟预测）定义在上的函数满足，则______．【答案】1012【解析】由，则，所以，即，所以是以4为周期的周期函数．令，得，所以，令，则，所以，所以．故答案为：1012．16．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，定义域为， 由，可知函数为偶函数，函数图象关于轴对称，又由，令，由可知函数为奇函数，又由，（当且仅当时取等号），可得函数单调递增，且当时，由一次函数在区间单调递增且函数值恒为正，可知函数在区间单调递增，又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，不等式可化为，必有，平方后整理为，解得或，即实数的取值范围为.故答案为：17．（2023·全国·高三专题练习）已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性．【解析】由，将代入，得，由的周期为4，得，所以，故为偶函数．18．（2023·全国·高三专题练习）利用定义证明函数在区间上为减函数.【解析】任取且，则，因为且，可得，所以，即，即，所以函数是上的减函数.19．（2023·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性.(1)，(2)【解析】（1）先看函数的定义域，要满足 所以x的取值范围为：.可以发现，定义域是关于原点对称的，接着用定义判断奇偶性，因为，所以原函数为偶函数.（2）对于函数，先看函数定义域，因为，所以的定义域为，显然关于原点对称，设函数，则有，所以，所以原函数为偶函数.20．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）求下列情况下的值(1)若函数是偶函数,求的值．(2)已知是奇函数,且当时,,若,求的值．【解析】（1）因为,故,因为为偶函数,故,所以,整理得到,故;（2）因为是奇函数,且当时,,因为,,所以,化简可得,解得:.21．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，，都有，且．(1)求f； (2)证明是周期函数；(3)记，求．【解析】（1）因为对任意的，都有，所以，又，，，∴.（2）设关于直线对称，故，即，又是偶函数，所以，∴，将上式中以代换，得，则是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（3）由（1）知，∵，又，∴.∵的一个周期是2，∴，因此．22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．【解析】（1）证明：∵f(x)是以为周期的周期函数，∴， 又∵是奇函数，∴，∴（2）当时，由题意可设，由，得，∴，∴.（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，故当时，设，则，解得.故当时，.又在上是奇函数，故当时，.综上，则时，.因为时，.所以当时，，所以；当时，，所以，综上所述，.1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.2．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）A．B．C．D． 【答案】C【解析】由题意可得：，而，故.故选：C.3．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】[方法一]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．[方法二]：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以， 令，由①得：，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．4．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B5．（2020·山东·统考高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【答案】C【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C6．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）A．B．C．D． 【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.7．（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（    ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．8．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（    ）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.9．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC. [方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．10．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．【答案】；．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，， 故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．①；②当时，；③是奇函数．【答案】（答案不唯一，均满足）【解析】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是奇函数，满足③.故答案为：（答案不唯一，均满足） 12．（2021·全国·统考高考真题）已知函数是偶函数，则______.【答案】1【解析】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：1