2025年高考数学一轮讲义第2章 第1课时　函数的概念及其表示

第1课时　函数的概念及其表示[考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3．了解简单的分段函数，并能简单应用.1．函数的概念概念一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域__的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合____________________2．同一个函数如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法：______、______、______．提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的____．[常用结论]6/6 1．注意以下几个特殊函数的定义域：(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．(3)f(x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合．(4)若f(x)＝x0，则f(x)的定义域为{x|x≠0}．(5)正切函数y＝tanx的定义域为xx≠kπ+π2，k∈Z.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为4ac-b24a，+∞；当a<0时，值域为-∞，4ac-b24a.(3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　)(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　)(3)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　　)(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f(x)＝3x2+2x，x≥0，2x+4，x<0，则f(f(－1))＝(　　)A．16　　　B．4　　　C．5　　　D．－42．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　D6/6 3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　)A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝-x3与g(x)＝x-xC．f(x)＝xx与g(x)＝1x0D．f(x)＝x与g(x)＝x24．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋1x，则f(x)的定义域为________；若f(a)＝2，则a的值为________．考点一　求函数的定义域[典例1]　(1)(2024·河北衡水中学模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝fx+1x-1＋(x－2)0的定义域是(　　)A．(1，5]　　　　　B．(1，2)∪(2，5)C．(1，2)∪(2，3]　D．(1，3](2)(2024·河南南阳模拟)函数y＝lg(1＋tanπx)＋1-4x2的定义域为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求函数的定义域的策略(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．(2)求抽象函数的定义域：①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f(x)的定义域．[跟进训练]1．(1)(2024·重庆模拟)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　)A．0，52　B．[－1，4]6/6 C．[－5，5]　D．[－3，7](2)若函数y＝ax+1ax2-4ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　)A．0，12　B．0，12C．0，12　D．0，12考点二　求函数的解析式[典例2]　求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx+1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式，注意g(x)的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．[跟进训练]2．(1)(易错题)已知f(x＋1)＝x－2x，则f(x)＝________．(2)已知f(x)满足f(x)－2f1x＝2x，则f(x)＝________．(3)设函数f(x)是单调递增的一次函数，满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝________．考点三　分段函数　求值问题6/6 [典例3]　(1)(2024·四川成都七中模拟)已知函数f(x)＝fx+1，x≤0，x2-3x-4，x＞0，则f(f(－4))＝(　　)A．－6　　　B．0C．4　　D．6(2)(2021·浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝x2-4，x>2，x-3+a，x≤2，若f(f(6))＝3，则a＝__________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解方程或不等式[典例4]　(1)函数f(x)＝x+1，-1<x<0，2x，x≥0，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f1a＝(　　)A．2　　B．4C．6　　D．8(2)已知函数f(x)＝log2x，x＞1，x2-1，x≤1，则f(x)＜f(x＋1)的解集为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分段函数的几类题型及解决方法(1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参．(2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值．(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解．[跟进训练]3．(1)已知函数f(x)＝x+2，x≤0，x+1x，x＞0，若f(f(a))＝2，则a等于(　　)6/6 A．0或1　B．－1或1C．0或－2　D．－2或－1(2)已知函数f(x)＝-x2-3x+2，x＜-1，2x-3，x≥-1，若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．6/6