2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.4　函数的对称性

§2.4函数的对称性第二章函　数 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于______对称，偶函数关于_____对称.(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为_______；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为_______.2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点_____对称.原点y轴x＝－2(－2,0)(a,0) 3.两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于_____对称.y轴x轴原点 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.()(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称.()(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.()(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.()√××√ A.(0,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(1,1)√ 2.已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为___________.f(－4)>f(1)∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称，又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(－4)＝f(0)>f(1)，故f(－4)>f(1). 3.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝___.5∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5. 探究核心题型第二部分 例1(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2023)等于A.－2B.2C.0D.－4√题型一轴对称问题 定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.则f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2. (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________.(2,4) ∵f(x＋2)是偶函数，∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(－∞，2]上单调递增.又f(x－1)>f(1)，∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，解得2<x<4，∴原不等式的解集为(2,4). 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称.思维升华 跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是A.f(－1)<f(1)<f(2)B.f(1)<f(2)<f(－1)C.f(2)<f(－1)<f(1)D.f(－1)<f(2)<f(1)√ 因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，所以f(x)的对称轴为x＝1，又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1). (2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为A.2B.3C.4D.－1√ 那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和， 例2(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是A.f(x)＝f(－x)B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0C.f(－x)＝－f(x＋4)D.f(x＋2)＝f(x－2)√题型二中心对称问题√√ 因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误. (2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为_____.4因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4. 跟踪训练2(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于A.点(－2,0)对称B.直线x＝－2对称C.点(2,0)对称D.直线x＝2对称√∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称. (2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是A.f(x－1)－1B.f(x－1)＋1C.f(x＋1)－1D.f(x＋1)＋1√因为f(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)关于点(1，－1)对称，所以将f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数. 例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称D.关于点(3,0)对称题型三两个函数图象的对称√ 设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称. 跟踪训练3设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象A.关于y轴对称B.关于x轴对称C.关于直线x＝1对称D.关于直线y＝1对称√ A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确；D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误. 课时精练第三部分 1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点A.(－1,2)B.(1,2)C.(－1，－2)D.(－2,1)1234567891011121314√基础保分练函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2). 2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于A.1B.2C.0D.－2√1234567891011121314函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2. 3.已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2025)等于A.－1B.1C.0D.31234567891011121314√ 1234567891011121314∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－x)＝f(x＋2)，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(1)＝f(5)＝1. 12345678910111213144.(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是A.f(x－1)－1B.f(x＋1)＋1C.f(x)－1D.f(x)＋1√ 1234567891011121314∵f(－x)＋f(x)＝2，∴f(x)的图象关于(0,1)对称，将y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，∴y＝f(x)－1为奇函数. 1234567891011121314A.(－∞，e)∪(e3，＋∞)B.(1，e2)C.(e，e3)D.(e，＋∞)√ 12345678910111213146.(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有A.f(x)的图象关于直线x＝1对称B.f(x)在[0,1]上单调递增C.f(x)在[1,2]上单调递减D.f(2)＝f(0)√√ 1234567891011121314根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，则有f(2)＝f(0)，故D正确；若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误； 1234567891011121314f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误. 7.与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________.1234567891011121314y＝e2－xf(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x. 8.(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝__________________.①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2.1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R， 1234567891011121314 1234567891011121314 10.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；1234567891011121314 1234567891011121314设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2). (2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.1234567891011121314推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数. 11.(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是A.若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称B.函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称C.若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称D.若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称1234567891011121314综合提升练√√√ 1234567891011121314对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确； 1234567891011121314对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确；对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确. 12.已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝____.12345678910111213142n 1234567891011121314因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位长度得到函数f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称， 1234567891011121314拓展冲刺练A.0对B.1对C.2对D.3对√ 1234567891011121314作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点. 1234567891011121314√ 1234567891011121314当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4，则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，由f(2＋log4x)>f(1－log4x)可得|2＋log4x－2|>|1－log4x－2|， 1234567891011121314