2024年新高考数学一轮复习：第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性（原卷版）

第10讲函数的奇偶性与周期性、对称性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称2、周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝(a>0)．3．函数对称性常用结论(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线对称．(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称．f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点对称．1、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若 y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（       ）A．-21B．-22C．-23D．-242、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（       ）A．-3B．-2C．0D．13、【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（       ）A．B．C．D．4、【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）A．B．C．D．5、【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（       ）A．B．C．D．6、【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）A．B．C．D．7、【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（       ）A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减8、【2020年新课标2卷文科】设函数,则（       ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（       ）A．B． C．D．1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为ABCD2、已知是奇函数，且当时，．若，则__________．3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数是奇函数，则的值为___________.4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______.考向一　奇偶性的定义与判断例1、判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝变式1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xlg(x＋)；(2)f(x)＝(1－x)；(3)f(x)＝ (4)f(x)＝.方法总结：1.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．2.在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．3.分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．考向二函数的周期性及应用例2、已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.变式1、函数满足，且在区间上，则的值为．变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，；当时，；当时，，则f(6)=A．−2B．−1C．0D．2变式3、若函数f(x)＝则f(2023)＝________.方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件：，，，，，等 考向三函数奇偶性与单调性、周期性的应用例3、（1）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）（2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：甲：f(x)是奇函数；乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减；丁：函数f(x)的周期为2．如果只有一个假命题，则该命题是A．甲B．乙C．丙D．丁变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).　(1)求f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(3)当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．变式2、已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（）A．B．函数在定义域上是周期为的函数C．直线与函数的图象有个交点D．函数的值域为方法总结：　1.已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种 思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结果．2.函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视．1、（2022·湖南湖南·二模）已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（       ）A．B．C．D．2、（2022·河北·模拟预测）设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（       ）A．B．C．D．3、（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．4、（2022·湖南·雅礼中学二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（       ）A．是奇函数B．是偶函数C．D． 5、（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数，若，，（e为自然对数的底数），则（       ）．A．B．C．D．6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（）A．B．在区间上是增函数C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是