高考数学方法技巧第5讲 函数的周期性和对称性形影不离（原卷版）

第5讲函数的周期性和对称性形影不离函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。类型一函数的周期性的判定及应用第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数满足，则函数的周期为；（2）若函数满足或或，则函数的周期为；第三步运用函数的周期性求解实际问题.例1函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（）A.B.C.D.【变式演练1】【陕西省西安市高三上学期第一次质量检测文科数学】已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（）A．B．C．D．0【变式演练2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A．B．C．D．【变式演练3】函数y=f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)<f(52)<f(72)B．f(72)<f(52)<f(1)C．f(72)<f(1)<f(52)D．f(52)<f(1)<f(72)类型二函数的对称性问题5/5 记住常见的几种对称结论：第一类函数满足时，函数的图像关于直线对称；第二类函数满足时，函数的图像关于点对称；第三类函数的图像与函数的图像关于直线对称.例2．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（）A．的周期B．的最大值为4C．D．为偶函数例3已知定义在上的函数的图象关于点对称,且满足,又,则（）A．B．C．D．例4已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（）A.2B.-2C.1D.-1【变式演练4】已知函数，现有下列四个命题：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于(，0)对称；④f(x)的图象关于(π，0)对称.其中所有真命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①②③④D．①②④【反馈练习】1．【河南省郑州市高三上学期第一次质量检测文科】设是上的奇函数且满足，5/5 当时，，则（）A．B．C．D．2.【四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）A．1B．2C．3D．43.【四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列四个结论中：①图象关于直线对称；②；③在上为减函数；④.其中正确的个数（）A．1B．2C．3D．44.【吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中高三（上）第一次联考】已知函数的周期为5，当时，，则（）A．5B．6C．7D．85．已知函数对任意的实数x都满足，且函数的图象关于点对称，若，则（）A．0B．2C．D．20216．已知为上的奇函数，为偶函数，若当，，则（）A．B．C．1D．27.【江苏省苏州中学高三（10月份）调研】若定义在上的奇函数满足对任意的，都有成立，且，则，，的大小关系是（）A．B．5/5 C．D．8．已知奇函数定义域为，且为偶函数，若，则（）A．0B．C．D．9.【贵州省贵阳市四校高三上学期联合考试】已知定义域为R的函数满足，，且当时，，则（）A．-1B．-2C．0D．110．【安徽省滁州市定远县育才学校高三上学期8月月考】定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，则（）A．B．C．D．11．定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（）A．B．C．D．12．（多选）已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（）A．是周期函数B．是奇函数C．既没有最大值又没有最小值D．函数是周期函数13．（多选）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（）A．是周期为的周期函数B．是周期为的周期函数C．为奇函数D．为奇函数14．（多选）定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，，则（）A．是奇函数B．是偶函数C．D．的最小正周期为5/5 15．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：①；②是函数的周期；③函数在区间上单调递增；④函数所有零点之和为.其中，正确结论的序号是___________.16．定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点之和为____________.17．定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是______．18．已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.19．定义在R上的函数满足．当时，，则___________；__________．5/5