高考数学方法技巧第1讲 函数问题的灵魂-定义域问题（解析版）

第1讲定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．方法一直接法万能模板内容使用场景函数f(x)的解析式已知的情况下解题模板第一步找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：（1）分式中分母不为0；（2）偶次方根中被开方数非负；0（3）x的底数不为零；（4）对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；（5）正切函数ytanx的定义域为{x|xk,kZ}．2第二步列出不等式（组）；第三步解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域．ln(1x)1【例1】（新沂市第一中学高三模拟）函数y的定义域是（）x1xA．[1,0)(0,1)B．[1,0)(0,1]C．(1,0)(0,1)D．(1,0)(0,1]【答案】C1x0,【解析】由题意得x10,解得1x0或0x1.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1).x0,故选：C.1/13 2【变式演练1】（广东高三模拟）设函数y16x的定义域为A，函数yln(1x)的定义域为B，则A∩B等于（）A．(1,4)B．(1,4]C．[4,1)D．(4,1)【答案】C2x16x20，即Ax4x4，【解析】函数y16x的定义域为函数yln(1x)的定义域为x1x0，则Bxx1，所以ABx4x1，故选：C.ylog(1tanx)例2．【黑龙江省大庆市第四中学月考】函数1的定义域为（）2A．k,k,kZB．2k,2k,kZ2424C．k,k,kZD．2k,2k,kZ4242【答案】Aylog(1tanx)【解析】函数1有意义，21tanx0则，xkkZ2解得kxkkZ，24所以函数的定义域为k,k,kZ.24故选：A【名师点睛】本题考查了求具体函数的定义域、正切函数的性质，属于基础题.x【变式演练2】求函数yloga(a1)(a0且a1)的定义域．【答案】当a1时，函数的定义域为{x|x0}；当0a1时，函数的定义域为{x|x0}．2/13 xx0【解析】要使原式有意义需要满足a10，即a1ax当a1时，ya是R上的增函数，所以x0；x当0a1时，ya是R上的减函数，所以x0；综上所述，当a1时，函数的定义域为{x|x0}；当0a1时，函数的定义域为{x|x0}．2例3．若函数fxxax1的定义域为R，则实数a取值范围是（）A．2,2B．2,C．,2D．2,2【答案】A22【解析】由于函数fxxax1的定义域为R，所以xax10在R上恒成立，即方程22xax1=0至多有一个解，所以a40，解得2a2，则实数a取值范围是2,2．故选A．【名师点睛】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题．33x1【变式演练3】已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）2axax311A．12a0B．12a0C．aD．a33【答案】A33x1【解析】函数fx的定义域为R，只需分母不为0即可，所以a0或2axax3a02，可得12a0，故选A．a4a30方法二抽象复合法万能模板内容使用场景涉及到抽象函数求定义域3/13 解题模板利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数f(x)的定义域为(a,b)，求复合函数f[g(x)]的定义域：只需解不等式ag(x)b，不等式的解集即为所求函数f[g(x)]的定义域．(2)已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b)，求函数f(x)的定义域：只需根据axb求出函数g(x)的值域，即为函数f(x)的定义域．例4．求下列函数的定义域：2（1）已知函数（fx)的定义域为[2,2]，求函数yf(x1)的定义域．（2）已知函数yf(2x4)的定义域为[0,1]，求函数（fx)的定义域．2（3）已知函数（fx)的定义域为[1,2]，求函数yf(x1)f(x1)的定义域．【答案】（1）[3,3]；（2）[4,6]；（3）[3,1]．222【解析】（1）令-2≤x—1≤2得-1≤x≤3，即0≤x≤3，从而-3≤x≤32∴函数yf(x1)的定义域为[3,3]．（2）∵yf(2x4)的定义域为[0,1]，即在yf(2x4)中x∈[0,1]，令t2x4，x∈[0,1]，则t∈[4,6]，即在f(t)中，t∈[4,6]∴（fx)的定义域为[4,6]．1x122（3）由题得3x1，∴函数yf(x1)f(x1)的定义域为[3,1]．21x12【名师点睛】（1）已知原函数f(x)的定义域为(a,b)，求复合函数f[g(x)]的定义域：只需解不等式ag(x)b，不等式的解集即为所求函数的定义域．第1小题就是典型的例子；（2）已知复合函数f[g(x)]的定义域为(a,b)，求原函数f(x)的定义域：只需根据axb求出函数g(x)的值域，即得原函数f(x)的定义域．第2小题就是典型的例子；（3）求函数yf(x)g(x)的定义域，一般先分别求函数yf(x)和函数yg(x)的定义域A和B，在求AB，即为所求函数的定义域．4/13 【变式演练4】（全国高三模拟）已知函数fx的定义域为1,0，若gxfxafxa有定义，则实数a的取值范围是（）11111A．,0B．1,C．0,D．,22222【答案】D1xa01axa【解析】由题意可得，解得．1xa0a1xa1因为gx有定义，所以当a0时，由1aa，得a0；21当a0时，由a1a，得0a；2当a0时，1≤x≤0，恒成立．11综上，实数a的取值范围是,．22故选：D．xfx1【变式演练5】【山东省泰安市高三6月三模】已知函数fx，则函数的定义域为xx24x1（）A．,1B．,1C．,1U1,0D．,11,1【答案】D【解析】令2x4xx，即21，解得x0.fx1x10,若有意义，则即x,11,1.x1x10，故选：D.【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.2x2x1【变式演练6】（湖北襄阳五中高三二模）已知函数yf2的定义域是1,，则函数yfx的xx1定义域是_______．【答案】1,25/13 22xx1xx1x2x1gx11x1【解析】令gxx1，则x2x1x2x11，2x1xx1x11101yx在1,上单调递增，x0，1，1gx2，xxx1xfx的定义域为1,2.方法三实际问题的定义域万能模板内容使用场景函数的实际应用问题解题模板第一步求函数的自变量的取值范围；第二步考虑自变量的实际限制条件；第三步取前后两者的交集，即得函数的定义域．例5．用长为L的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）．若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与关于x的函数解析式，并求出它的定义域．42L【答案】yxLx，函数的定义域为(0,)222L2xxL2xxx【解析】如图，设AB2x，则CD=x，于是AD，因此y2x，2222x042L即yxLx，再由题得L2xx，解之得0x，所以函数解析式是202242LyxLx，函数的定义域是(0,)．226/13 【名师点睛】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；2x0（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即L2xx，不能02遗漏．【变式演练7】（全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮2弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为h130t5t.①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.【答案】定义域为{t|0t26}，值域为{h|0h845}，描述见解析.【解析】定义域为{t|0t26}，值域为{h|0h845}，对于数集{t|0t26}中的任一个数t，2在数集{h|0h845}中都有唯一确定的数h130t5t与之对应.【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.【反馈练习】121．（天津高三期末）函数fxlog22xx的定义域为（）x1A．1,2B．,02,C．,11,2D．0,1U1,2【答案】Dx10x1【解析】要使函数有意义，只需2，解得，即函数定义域为{x|0x1或1x2}.故选2xx00x2D.12．【云南省昆明市第一中学高三考前第九次适应性训练】设函数y的定义域为A，函数y2x1的21x7/13 值域为B，则AB()A．0,1B．0,1C．1,1D．1,1【答案】A【解析】函数定义域满足：21x0，即1x1，所以Ax1x1，x1函数y2的值域Byy0，所以AB0,1，故选：A.【名师点睛】本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.13．（哈尔滨市第三十二中学校高三期末（文））函数f(x)2x的定义域为（）lgxA．(0,2]B．(0,2)C．(0,1)(1,2]D．(,2]【答案】Cx0x0lgx0x12x0x2x0,11,2【解析】欲使函数有意义，则，即，解得，故选：C.4．【河南省郑州市高三第二次质量预测】设函数2y9x的定义域为A，函数yln(3x)的定义域为B，则AB（）A．(,3)B．(8,3)C．{3}D．[3,3)【答案】D【解析】由题意，对于函数22y9x，9x0，解得3≤x≤3，即A3,3；对于函数yln(3x)，3x0，解得x3，即B,3，所以AB[3,3).故选：D.【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题.5．（广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为40cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则函数的定义域为()8/13 A．10,20B．0,10C．5,10D．5,10【答案】A402x0【解析】由题设有y402x，由得10x20，故选A.xx402x【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.x26．【百师联盟高三联考】函数f(x)lnxlg的定义域为()2xA．[1,2]B．[2,)C．[1,2)D．(1,2]【答案】C(x2)(2x)0【解析】解：根据函数f(x)解析式，有x0，解得x[1,2)，所以函数f(x)的定义域为lnx0x[1,2)，故选：C.【名师点睛】本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.x7．（河北张家口中学月考）若函数f(x)的定义域为R，则实数m取值范围是（）2mxmx2A．[0,8)B．(8,)C．(0,8)D．(,0)(8,)【答案】A【解析】∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式mx2-mx+2>0的解集为R，①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；m＞0②m≠0时，则2，解得0＜m<8．m8m0综上得，实数m的取值范围是[0,8)，故选A．【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．8．（北京清华附中高三其他模拟）函数fxx1lg4x的定义域是__________．【答案】1,4【解析】fxx1lg4x，9/13 x10，解得1x4，故函数的定义域为1,4.4x0故答案为：1,4.24x9．（广东金山中学高三月考）函数f(x)的定义域为______．lg(x1)【答案】(1,0)(0,2]；24x024x【解析】由题意，函数f(x)有意义，则满足x10，解得1x2且x0，所以函数fx的lg(x1)x11定义域为(1,0)(0,2].【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域：(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分式中的分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.210．【上海市南模中学高三模拟】函数y9xlg2cos2x1的定义域是______.55【答案】3,,,3666623x39x02【解析】因为y9xlg2cos2x1，所以，所以1，2cos2x10cos2x23x355所以，解得3x或x或x3.kxk,kZ66666655故答案为：3,,,36666【名师点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．（北京高三一模）函数f(x)ln(2x)1x的定义域为_____.【答案】(0,1]10/13 1x02x0(0,1]【解析】依题意知，函数有意义，则需，解得0x1，故定义域为．x12．（贵州省思南中学高三一模（理））函数fx44ln(x4)的定义域为________.【答案】(4,1]x440x【解析】由题意，要使函数fx44ln(x4)有意义，则满足，x40解得4x≤1，即函数fx的定义域为(4,1].13．【陕西省咸阳市高三上学期期末】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出yx12x的一个“同域函数”的解析式为____________.x【答案】y23，x1,2（答案不唯一）x10【解析】由得：1x2yx12x的定义域为1,22x0又yx12x为定义域内的增函数值域为1,1xyx12x的一个“同域函数”为y23，x1,2x故答案为：y23，x1,2（答案不唯一）【名师点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.14．【江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知函数f(2x1)的定义域为(1,2)，则函数f(23x)的定义域为________.15【答案】,33【解析】因为f(2x1)的定义域为(1,2)，即1x2。所以此时括号的范围为32x13。15对于函数f(23x)即是：323x3，即x3311/13 15故答案为：,33【名师点睛】此题考查抽象函数求定义域问题，关键两点：定义域一定指x的取值范围，同一个函数括号内的范围相同，属于简单题目。15．（全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件ABBCCDa（常数），ABC120，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域.a32【答案】定义城为0,，值域为0,a.212【解析】如图，连接AD，过B,C分别作AD的垂线，垂足为E,F，a因为ABBCCDa，所以BCEFa2x0，即0x，2因为ABC120，xAEDF，所以A60，所以2313xxxBEx，y(BCAD)BE2(a2x)22422233233a32(2a3x)x3x2axxa，444312a3x时，y有最大值2故当a，312a32故它的定义城为0,，值域为0,a.212【点睛】12/13 本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.a16.【湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷】已知函数fx2lnxaR.lnx（1）若fe1，求a的值；（2）求函数yfx的定义域；（3）若对任意的xe，不等式fx1恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）a1；（2）0,11,；（3）1,.a【解析】（1）fx2lnx，fe2a1，解得a1；lnxax0（2）对于函数fx2lnx，有，解得x0且x1.lnxlnx0因此，函数yfx的定义域为0,11,；a（3）xe，令tlnx1，由fx1，得2t1，参变量分离得2at2t，t21二次函数yt2t的图象开口向下，对称轴为直线t.42所以，函数yt2t在区间1,上单调递减，当t1时，该函数取得最大值，即ymax1，a1.因此，实数a的取值范围为1,.【名师点睛】本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13/13