第37讲 直线与圆的综合问题（解析版）

第37讲直线与圆的综合问题1．（全国高一课时练习）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程．【答案】．【详解】设圆心坐标为，半径为r，由题意得：，解得，故所求圆的方程为．2．（江苏高二专题练习）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.由圆的圆心在直线上，知：.又∵圆与轴相切于点，∴，，则.∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.（Ⅱ）如果选择条件①：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.如果选择条件②：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.3．（陕西新城·）已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于，求.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】（1）；（2）【详解】(1)设圆的标准方程为：根据圆C经过A(2，0)，B(8，0)两点，且与y轴的正半轴相切.，解得：，圆的标准方程为：.(2)圆心到直线的距离为.所以.4．（全国高二课时练习）求直线被圆截得的弦的长．【答案】【详解】解：将圆的方程化为标准式，可得，所以圆心坐标为，半径为，所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为，所以根据几何法得弦长为．所以弦的长为5．（江苏广陵·扬州中学高二月考）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于两点，求所得弦长的值.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 【答案】（1）；（2）.【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.6．（平罗中学高二月考（文））已知直线：，圆：.（1）讨论直线与圆的位置关系；（2）若是圆上任意一点，求点到直线距离的最小值.【答案】（1）相离；（2）2.【详解】（1）由题意，圆的圆心为，半径为，而圆心到直线的距离，∴，即直线与圆位置关系为相离.（2）由（1）知：要使圆上一点到直线距离的最小，则在圆心和直线l之间，且在到直线l的垂线段上，∴点到直线距离的最小值为.7．（全国高二单元测试）（1）求圆的切线方程，使得它经过点（2）圆的切线在轴上截距相等，求切线方程【答案】（1）；（2）或或.【详解】（1）因为点满足圆的方程，所以在圆上，则直线的斜率，根据圆的切线的性质可得所求直线的斜率，所以经过M的直线方程为，整理可得：；（2）由题意可得，当截距全为0时，即直线过原点，可设直线方程为，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 则圆心到直线的距离，即，解得：，此时直线方程为，当截距相等且不为0时，可设直线方程为，则圆心到直线的距离，即，解得：或，此时切线方程为或，综上可得切线方程为：或或.8．（浙江奉化·高二期末）已知直线过点，圆．（Ⅰ）求圆的圆心坐标及直线截圆弦长最长时直线的方程；（Ⅱ）若过点直线与圆恒有公共点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（0，-2），;（Ⅱ）.【详解】（Ⅰ）圆C方程标准化为：∴圆心C的坐标为（0，﹣2）直线截圆C弦长最长，即过圆心，故此时的方程为：，整理得：；（Ⅱ）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，∴，得．9．（全国高二期中）已知点在圆：上．（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）过点,斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）弦长【详解】（Ⅰ）由题可知：微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以圆的标准方程为所以圆心，半径（Ⅱ）直线的方程为，即则圆心到直线的距离为所以弦长10．（浙江高二单元测试）直线被圆截得的弦长为8，求的值．【答案】或.【详解】由题可知弦心距为，代入点到直线的距离公式：平方解方程得：或.11．（新疆昌吉·）已知圆.（1）求圆心的坐标和半径的值；（2）若直线与圆相交于两点，求.【答案】（1）圆心，半径为；（2）.【详解】（1），得，所以圆心，半径为；（2）圆心到直线距离为，.12．（福建三明一中）已知圆经过，，三点．（1）求圆的方程；（2）求轴被圆截得的弦长．【答案】（1）；（2）8【详解】（1）设圆的方程为．微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 因为圆经过解得，，，则圆的方程为．（2）由（1）可得圆的圆心，半径．因为圆的圆心，所以圆到轴的距离，因为圆的半径，所以轴被圆截得的弦长为．13．（贵溪市实验中学）已知点和（1）求直线的斜率和的中点的坐标；（2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的方程．【答案】(1)斜率为1，坐标为(2)【详解】（1）由已知可得，的中点的坐标为(2,0).（2）设圆心为，半径为圆心在直线上，，则点为由题意可得解得，圆的标准方程为.14．（贵溪市实验中学高二期末）已知圆.（1）此方程表示圆，求的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于.两点，且(为坐标原点)，求的值；【答案】(1)(2)试题解析：微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0.将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，=64-20（4m-16）=384-80m﹥0﹥所以m﹤4又由x+2y-4=0得y=(4-x),∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=0.将①、②代入得m=,满足﹥0.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538