2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系（讲）（Word版附解析）

第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系（讲）思维导图知识梳理1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ0Δ0Δ0几何观点drdrdr2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[常用结论]1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．题型归纳题型1直线与圆的位置关系的判断【例1-1】（2020•广州一模）直线kx﹣y+1＝0与圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置关系是（　　）A．相交B．相切C．相离D．不确定【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：圆方程可整理为（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心（﹣1，2），半径r＝2，直线恒过点（0，1），因为（0，1）在圆内，故直线与圆相交，故选：A．【例1-2】（2020•广安模拟）若无论实数a取何值时，直线ax+y+a+1＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0都相交，则实数b的取值范围．（　　）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣6）D．（﹣6，+∞）【分析】求出直线的定点，令该定点在圆内部即可得出b的范围．【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0表示圆，∴＞0，即b＜2．∵直线ax+y+a+1＝0过定点（﹣1，﹣1）．∴点（﹣1，﹣1）在圆x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0内部，∴6+b＜0，解得b＜﹣6． ∴b的范围是（﹣∞，﹣6）．故选：C．【例1-3】（2020•湖北模拟）已知圆O：x2+y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx+1的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围为（　　）A．[0，）∪（，）B．[0，）∪（，π）C．（，）∪（，）D．（，）∪（，π）【分析】求出圆心到直线l的距离d，把问题转化为＜d＜求解k的范围，即可求得直线倾斜角的范围．【解答】解：直线l：y＝kx+1过定点P（0，1），如图，原点O到直线l的距离d＝．要使圆O：x2+y2＝1上恰有两个点到直线l：y＝kx+1的距离为，＜＜，解得＜k＜．∴直线l的倾斜角的取值范围为[0，）∪（，π）．故选：B．【跟踪训练1-1】（2019秋•内江期末）方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0（a∈R）所表示的直线与圆（x+1）2+y2＝25的位置关系是（　　）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【分析】求出直线所过定点，再由定点在圆内得答案． 【解答】解：由（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0，得a（x+2）﹣x﹣y+1＝0，联立，解得．∴直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0过定点（﹣2，3），∵（﹣2+1）2+32＝10＜25，∴点（﹣2，3）在圆（x+1）2+y2＝25的内部，则直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0与圆（x+1）2+y2＝25的位置关系是相交．故选：C．【跟踪训练1-2】（2020春•鼓楼区校级期末）若直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的最大值为（　　）A．B．1C．D．【分析】由题意画出图形，利用圆心到直线的距离等于半径列式求k，则答案可求．【解答】解：直线l：y+1＝k（x+）过定点A（，﹣1），圆C：x2+y2＝1，如图：化直线l的方程为kx﹣y+．原点O到直线的距离d＝，解得k＝0或k＝．由图可知，要使直线l：y+1＝k（x+）与圆C：x2+y2＝1有公共点，则实数k的最大值为．故选：D．【跟踪训练1-3】（2020•武昌区模拟）若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（　　） A．（0，）B．（﹣，）C．（0，）D．（﹣，）【分析】由题意画出图形，求出直线过P与A两点时的斜率，再求出直线与圆相切时的斜率，数形结合得答案．【解答】解：直线y＝kx+1过定点P（0，1），作出直线与圆如图：当直线过P（0，1）与A（4，0）时，k＝﹣；由圆心（2，0）到直线kx﹣y+1＝0的距离等于2，得，解得k＝．∴若直线y＝kx+1与圆（x﹣2）2+y2＝4相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是（﹣，）．故选：D．【名师指导】判断直线与圆的位置关系的一般方法几何法圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小代数法将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系题型2圆的弦长问题【例2-1】（2020春•河池期末）直线y＝x+1被圆x2+y2＝4截得的弦长为（　　）A．B．2C．D．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答 案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径r＝2，则圆心到直线y＝x+1即x﹣y+1＝0的距离d＝＝，则直线y＝x+1被圆x2+y2＝4截得的弦长为2×＝，故选：D．【例2-2】（2020春•龙岗区期末）设直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为（　　）A．4πB．6πC．8πD．π【分析】求出圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标，半径，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0的圆心坐标为（0，a），半径为：，∵直线y＝x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B两点，且|AB|＝2，∴圆心（0，a）到直线y＝x+2a的距离d＝，即+3＝a2+2，解得：a2＝2，故圆的半径r＝2．故圆的面积S＝4π，故选：A．【跟踪训练1-1】（2020春•云南期末）已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　）A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣4【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得r2＝d2+（）2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣a，其圆心为（1，﹣1），半径r＝，圆心到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝， 又由圆截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则有r2＝d2+（）2＝2+2＝2﹣a，解可得a＝﹣4；故选：D．【跟踪训练1-2】（2020春•广州期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　）A．2B．4C．6D．8【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点P（3，1），求得|PC|，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心坐标为C（1，2），半径为5．由直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，联立，解得．∴直线l过定点P（3，1），点P（3，1）在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时|PC|＝．∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2．故选：B．【名师指导】有关弦长问题的2种求法几何法直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2代数法联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝·|x1－x2|＝或|AB|＝·|y1－y2|＝题型3圆的切线问题 【例3-1】（2019秋•长安区校级月考）已知点P（1，﹣2），点M（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．①求过点P的圆C的切线方程；②求过点M的圆C的切线方程．【分析】①先判断点P在圆C外，再设过点P的切线斜率为k，写出切线方程，利用圆心到切线的距离d＝r求出k的值，即可写出切线方程；②判断点M在圆C外，讨论过点M的直线斜率不存在和斜率存在时，利用圆心到切线的距离d＝r求出对应切线的方程．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，∴圆心C（1，2），半径r＝2；①∵|PC|═＝4，∴点P在圆C外；设过点P的切线斜率为k，则切线方程为y+2＝k（x﹣1），化为一般式是kx﹣y﹣k﹣2＝0；则圆心C到切线的距离为d＝r，即＝2，解得k＝±，∴过点P的圆C的切线方程是y+2＝±（x﹣1），即x﹣y﹣﹣2＝0或x+y﹣+2＝0；②∵|MC|═＝＞2，∴点M在圆C外；当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x﹣3＝0；又点C（1，2）到直线x﹣3＝0的距离d＝3﹣1＝2＝r，满足题意，∴直线x﹣3＝0是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝r＝2， 解得k＝．∴切线方程为y﹣1＝（x﹣3），化为一般形式是3x﹣4y﹣5＝0；综上可得，过点M的圆C的切线方程为x﹣3＝0或3x﹣4y﹣5＝0．【跟踪训练3-1】（2020春•新华区校级期末）过点P（2，﹣1）的直线与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，则切线长为（　　）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，求出P到圆心C的距离|PC|，由切线长公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5，其圆心为（﹣1，1），半径r＝，点P（2，﹣1）的直线与圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，又由|PC|＝，所以切线长为；故选：C．【跟踪训练3-2】（2020•红岗区校级模拟）过原点O作圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0的两条切线，设切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）A．2x+2y﹣5＝0B．4x+4y﹣5＝0C．2x+2y+5＝0D．4x+4y+5＝0【分析】根据题意，分析圆C的圆心与半径，由切线长公式可得|PA|＝|PB|＝＝，进而可得点A、B在圆x2+y2＝5上，结合圆与圆为位置关系分析可得直线AB的方程为圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0与圆x2+y2＝5的公共弦所在的直线，联立两圆的方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0即（x+2）2+（y+2）2＝3，其圆心为（﹣2，﹣2），半径r＝，过原点O作圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0的两条切线，设切点分别为A，B，则|PA|＝|PB|＝＝，则点A、B在圆x2+y2＝5上，则直线AB的方程为圆C：x2+y2+4x+4y+5＝0与圆x2+y2＝5的公共弦所在的直线， 又由，则有2x+2y+5＝0，即直线AB的方程为2x+2y+5＝0，故选：C．【跟踪训练3-3】（2019秋•四川期中）已知圆C经过M（3，0），N（2，1）两点，且圆心在直线l：2x+y﹣4＝0上．（1）求圆C的方程；（2）从y轴上一个动点P向圆C作切线，求切线长的最小值及对应切线方程．【分析】（1）解法一：设出圆的一般方程，由题意列出方程组求出解即可写出圆的方程．解法二：由题意求出圆心和半径，即可写出圆的方程．（2）解法一：设切线长为d，要使得切线长最短，必须且只需|PC|最小即可，由此求得|PC|的最小值，计算出切线长的最小值，讨论切线的斜率存在与否，从而求得切线方程和对应切线长．解法二：同解法一得切线长最小值时对应点为原点，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径求出斜率，写出切线方程，计算对应切线长．【解答】解：（1）解法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由题意得：9+3D+F＝0，……①5+2D+E+F＝0，……②又圆心在直线2x+y﹣4＝0上，所以；……③由①②③解得：D＝﹣4，E＝0，F＝3；所以圆的方程为：x2+y2﹣4x+3＝0（或写成：（x﹣2）2+y2＝1）．解法二：由题意，圆心在MN的中垂线y＝x﹣2上，又在已知直线l：2x+y﹣4＝0上，解得圆心坐标为C（2，0），于是半径r＝|MC|＝1，故所求圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝1．（2）解法一：对于动点P，设切线长为d，则|PC|2＝d2+r2＝d2+1；所以，要使得切线长最短，必须且只需|PC|最小即可， 且最小值为圆心（2，0）到y轴的距离，等于2，所以切线长的最小值为；当切线长取最小值时，对应P点为原点，过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切；当斜率存在时，设直线方程为y＝kx；代入C：x2+y2﹣4x+3＝0，得x2+（kx）2﹣4x+3＝0，即（1+k2）x2﹣4x+3＝0；令△＝（﹣4）2﹣4×3（1+k2）＝0，解得；所以切线方程为，对应切线长为．解法二：同解法一得切线长最小值为且对应P点为原点，过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C相切；当斜率存在时，设直线方程为y＝kx，因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，解得；所以切线方程为，对应切线长为．【名师指导】1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的2种方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0 ＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出题型4圆与圆的位置关系【例4-1】（2020•道里区校级模拟）若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则实数m＝（　　）A．﹣24B．﹣16C．24D．16【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得|C1C2|＝＝5＝2+，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4，圆心为（0，0），半径为R＝2，圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，圆心为（3，4），半径r＝若圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则有|C1C2|＝＝5＝2+，解可得m＝16，故选：D．【例4-2】（2020•东湖区校级三模）已知圆的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，则圆C1与圆的位置关系是（　　）A．相交B．内切C．外切D．相离【分析】求得圆C1的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得a，求得圆C2的圆心和半径，计算|C1C2|，与两圆的半径之差比较可得结论．【解答】解：圆的圆心为C1（0，a2），半径r1＝a2，a≠0，由圆的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，可得＝2，解得a＝±，可得圆C1的圆心为（0，2），半径为2，而圆的圆心为（1，2），半径为r2＝1， 由|C1C2|＝1＝r1﹣r2＝2﹣1，可得两圆的位置关系为内切．故选：B．【跟踪训练4-1】（2020春•保山期末）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0和圆C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，则圆C1与圆C2的位置关系为（　　）A．外切B．内切C．相交D．相离【分析】根据题意，分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，即（x+1）2+（y+4）2＝25，其圆心C1（﹣1，﹣4），半径R＝5，圆C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，其圆心C2（5，4），半径r＝5，两圆的圆心距|C1C2|＝＝10＝R+r，两圆外切；故选：A．【跟踪训练4-2】（2020春•湖北期末）已知圆C1：x2+y2+2ax﹣9+a2＝0和圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0外切（其中a，b∈R），则a+b的最大值为（　　）A．4B．4C．8D．4【分析】利用两圆外切，圆心距等于半径之和，再利用基本不等式，即可求得a+b的最大值．【解答】解：圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣9＝0的标准方程为（x+a）2+y2＝9；圆C2：x2+y2﹣2bx﹣1+b2＝0的标准方程为x2+（y﹣b）2＝1，∵两圆外切，∴＝4；∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴a+b≤4；∴a+b的最大值为4；故选：B．【名师指导】圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．