突破新高考数学精选压轴题 第17讲 直线的斜率问题（解析版）

第17讲直线的斜率问题参考答案与试题解析一．解答题（共18小题）1．已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若垂直于轴，求直线的斜率；（Ⅲ）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．所以，，．所以椭圆的离心率．（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，．直线的方程为．令，得．所以直线的斜率．（Ⅲ）直线与直线平行．证明如下：当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知．又因为直线的斜率，所以．当直线的斜率存在时，设其方程为．设，，，，则直线的方程为．令，得点．由，得．所以，．直线的斜率为：，因为,所以，．综上，直线与直线平行．2．设椭圆的焦距为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点且不过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）椭圆的焦距为，且经过点，根据题意得：，即①，把代入椭圆方程得：，把代入①得：，则椭圆的标准方程为；（2）直线与直线平行．证明如下：过点且垂直于轴，可设，，，直线的方程为：，令，得，直线的斜率．当直线的斜率不存在时，．又直线的斜率，；当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，，，则直线的方程为，令，则点，直线的斜率，,联立，得，由韦达定理，得，，，，即；综上所述，直线与直线平行．3．如图，，分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，2是与的等差中项，是与的等比中项．（1）求椭圆的方程；（2）已知点是椭圆上异于，的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点．证明：，，三点共线．【解答】（1）解：，，．由2是与的等差中项，是与的等比中项．，解得，，．椭圆的方程为．（2）证明：直线的方程为：，直线的方程为：，,联立，化为，，，，，．直线的方程为：，把代入上述方程可得，．，．，，，三点共线．4．已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．（Ⅰ）当，时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、时，椭圆的方程为，，直线的方程为，代入椭圆方程，整理可得，解得或，则，由，可得，由，，可得，整理可得，由无实根，可得，,即有的面积为；方法二、由，可得，关于轴对称，由．可得直线的斜率为1，直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，，，，，则的面积为；（Ⅱ）直线的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，（补充求，的纵坐标的方法：设，，则直线的方程为，与椭圆的方程联立，可得，因此的纵坐标为，的纵坐标为即有，，由，可得，整理得，由椭圆的焦点在轴上，则，即有，即有，可得，即的取值范围是，．5．已知椭圆的右焦点为，左顶点为．,（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的），两点．试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意，椭圆的右焦点为，左顶点为，则，，则．所以椭圆的方程为．（2）根据题意，①当直线与轴垂直时，直线的方程为，联立得，解得．此时直线的方程为．直线与轴的交点为．②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为．联立得．设，，，，则，且△，即．而，由题意知，，即，解得或（舍去）．当时，满足．直线的方程为，此时与轴的交点为．故直线与轴的交点是定点，坐标为．6．已知椭圆过点，为椭圆的半焦距，且．,（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线，与椭圆分别交于另两点，，若线段的中点在轴上，求此时直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，椭圆过点，可得，解得，，所以椭圆的方程为：．．（4分）（Ⅱ）设，，，，则，两式相减得，因为线段的中点在轴上，所以，从而可得．（7分）若，则，．因为过点作两条相互垂直的直线，，所以，所以，得．又因为，所以解得，所以，或，．所以直线的方程为．（10分）若，则，，因为，所以，得．又因为，所以解得或，经检验：满足条件，不满足条件．综上，直线的方程为或．（13分）．7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；,（2）如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程．【解答】解：（1）由题意，，解得，双曲线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在，设，则，即，联立，得．设，，，，，解得．，，又，，，，，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，，即．，则，得或．,①当时，点与右顶点重合，不合题意舍去；②当时，代入，解得，满足条件．直线的方程为或．8．已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点为坐标原点，直线与轴交于点，且与一条渐近线交于点，又，过点的直线与双曲线右支交于点，，点为点关于轴的对称点．（1）求双曲线的方程；（2）判断，，三点是否共线，并说明理由；（3）求三角形面积的最小值．【解答】解：（1），，，双曲线的方程为；（2）由（1）可知，，由题意直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，代入整理得，设，，，，则，．由韦达定理知，所以．因为向量共线，所以，，三点共线．（3）因为直线与双曲线右支交于点，，所以，得．,，令，则，，，又，所以，即时，三角形面积的最小值18．9．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：．【解答】解：（1），，与轴垂直，，由，解得或，，或，直线的方程为，，证明：（2）当与轴重合时，，当与轴垂直时，为的垂直平分线，，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，，，，，则，，直线，的斜率之和为，之和为，由，得，将代入可得，，，,从而，故，的倾斜角互补，，综上．10．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程．（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）【解答】解：联立，不妨取，，由曲线可得：，曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，化为．同理可得曲线在点处的切线方程为：．存在符合条件的点，下面给出证明：设满足．，，，，直线，的斜率分别为：，．联立，化为，，．．当时，，直线，的倾斜角互补，．点符合条件．11．在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点．（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．,【解答】解：（1）联立，可得，，或，．，故在处的导数值为，在处的切线方程为，即．故在处的导数值为，在处的切线方程为，即．故所求切线方程为或．（2）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，，，，直线，的斜率分别为，．将代入得方程整理得．，．．当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以符合题意．12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，且也是抛物线的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由．【解答】解：（1）也是抛物线的焦点，，，且抛物线的准线方程为，设点，，，,，，，，解得，，椭圆方程为，（2）假设存在满足．设，，，联立得，由韦达定理有，①，其中△恒成立，由（显然，的斜率存在），故即②，由，两点在直线上，故，，代入②整理有③，将①代入③即有：④，要使得④与的取值无关，当且仅当““时成立，综上所述存在，使得当变化时，总有．13．一个圆经过点，且和直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、，若轴是的角平分线，证明直线过定点．【解答】解：（1）设动圆圆心，则由抛物线定义易得：点是以为焦点，以为准线的抛物线，动圆圆心的轨迹方程为：（2）设两点，，，，设不垂直于轴的直线：，则有：，所以：，因为轴是的角平分线，所以：，即：，即：,则：，所以：，，所以直线过定点14．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点．（1）若过点，且，求的斜率；（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行．【解答】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线方程可得，即，所以，但，故直线的斜率存在，设其方程为．由得，设，，，，则，所以，解得，所以直线的斜率为．（2）设直线的方程为，，，，．得，则．由△，得．又，所以，从而在轴上的截距的取值范围为,．，所以直线，的斜率互补，从而的平分线始终与轴平行．15．如图，若是抛物线上的一定点不是顶点），动弦、分别交轴于、两点，且．证明：直线的斜率为定值．【解答】证明：设，，直线的斜率为，方程为．则直线的斜率为，方程为．由,点的坐标为．（5分）同理可得，点的坐标为．所以，所以直线的斜率为定值．（10分）16．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于、两点，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、．如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设直线的方程为，令，，，．联立得，，根据抛物线的定义得，又，又，，．则此抛物线的方程为．（Ⅱ）设直线、的倾斜角分别为、，直线的斜率为，则．由于直线、的倾斜角互余，则，则直线的斜率为．于是直线的方程为，即，联立得，，则，，，同理将换成得：，，,．则直线的方程为，即，显然当，．所以直线经过定点．17．已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为．（1）设，，，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值．【解答】解：（1）依题意，直线的方程为，由点到直线间的距离公式得：点到直线的距离，因为，所以；当与时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的斜率为，设直线的方程为，联立方程组，消去解得，根据对称性，设，则，同理可得，，所以．方法二：设直线、的斜率分别为、，则，所以，，,，、，在椭圆上，，即，所以，即，所以．18．设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为．已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点．【解答】解：（1）由已知可得，解得，又椭圆过点，所以，解得，故椭圆的方程为；（2）证明：由（1）可得点，设，，，，当直线的斜率不存在时，设其方程为，有，所以，解得，此时直线的方程为，当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立可得：，则，又，所以，即，所以，,整理可得，因为直线不过点，所以，则，即，所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点，此点也在直线上，所以直线恒过定点．