突破新高考数学精选压轴题 第9讲 破解离心率问题之顶底角公式（解析版）

第9讲破解离心率问题之顶底角公式参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，已知双曲线上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足，设，且，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：在中，，，在直角三角形中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，，，，，故选：．2．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得，则椭圆离心率的取值范围是　　A．B．C．D．【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，,张角达到最大值．由此可得：存在点为椭圆上一点，使得，△中，，可得△中，，所以，即，其中，可得，即椭圆离心率，且故选：．3．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则该椭圆离心率的最小值为　　A．B．C．D．【解答】解：在以为直径，原点为圆心的圆上，圆与椭圆相交的条件为圆的半径在椭圆半长轴和半短轴之间，即：，，由可得：故选：．4．已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点满足，则该椭圆离心率取值范围是　　,A．B．C．D．【解答】解：设，，由余弦定理得：，，又，即，解得，，，，得，，．故选：．5．椭圆的焦点、在轴上，点为椭圆上一点且不大于，则它的离心率的取值范围是　　A．B．C．D．【解答】解：因为椭圆中位于短轴端点时，最大，由题意可知，所以，即，解得．又因为，，解得．所以．故选：．6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是　　A．B．C．D．,【解答】解：点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则的最大值大于等于即可，即当为短轴端点时，即可，如图所示，，，又，该椭圆的离心率的取值范围是．故选：．二．多选题（共3小题）7．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有　　A．△的周长为6B．△的最大面积为C．存在点使得D．的最大值为5【解答】解：根据题意可得，，，对于：△的周长为，故正确，对于：△的最大面积为，故正确，对于：若要存在点使得，则，即点在以为直径的圆上，且，,所以点为以为直径的圆与椭圆的交点，而椭圆的短轴一半长为，所以不存在点，故错误，对于，所以最大值为5，故正确，故选：．8．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的一个的值　　A．B．C．D．【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．椭圆上存在点使得是钝角，△中，，△中，，，即，，可得，，又，，结合选项可得，满足条件的一个的值为．故选：．,9．已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点，2，3，，，，，组成公差为的等差数列，则　　A．的面积最大时，B．的最大值为8C．的值可以为D．椭圆上存在点，使【解答】解：由已知椭圆方程可得：，，，由椭圆的性质可得：当点为椭圆的短轴端点时，最大，且此时三角形的面积也最大，此时，正确，错误，椭圆上的动点满足，即，又椭圆上至少有21个不同的点组成公差为的等差数列，所以的最大值为8，正确，设已知的等差数列为，公差为，则，，又，所以，所以，即的最大值为，正确，故选：．三．填空题（共7小题）10．已知双曲线的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为　，　．,【解答】解：法一：，，，，，，设，则，，，．法二：，，令，，，，，，，，，．故答案为：，．11．椭圆的左右焦点为，，是椭圆上一点，若，且，则椭圆的离心率的取值范围是　，　．【解答】解：椭圆的左右焦点为，，是椭圆上一点，若，且，可得，则，短轴的端点与两个焦点所成角大于等于，．因为，所以．故答案为：．12．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是　　．,【解答】解：，可得，在中，，，在直角三角形中，，可得，，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，，．故答案为：．13．已知、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是　　．【解答】解：、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且，以为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径，，，，又，椭圆的离心率的取值范围是，，故答案为，．14．已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为　，　．【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，,当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：存在点为椭圆上一点，使得，△中，，△中，，所以，即，，可得，，，．故答案为：，．15．设椭圆两焦点为，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围为　，　．【解答】解：点满足，点的轨迹是以为直径的圆，其方程为．又椭圆上存在点，使得，以为直径的圆与椭圆有公共点，由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，，即，化简得，解得．因此，椭圆的离心率．椭圆离心率在之间取值，,椭圆的离心率，．故答案为：，16．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围　，　．【解答】解：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，因为椭圆上存在点使得是钝角，所以△中，，所以直角三角形中，，所以，即，所以，即，所以，又，所以，故答案为：，．,,