突破新高考数学精选压轴题 第3讲 圆锥曲线第三定义（解析版）

第3讲圆锥曲线第三定义参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　A．B．C．D．【解答】解：设，，，由，，，，由，，，则，直线斜率的取值范围，，故选：．2．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　A．，B．，C．，D．，【解答】解：由椭圆可知其左顶点，右顶点．设，，则得．记直线的斜率为，直线的斜率为，则直线斜率的取值范围是，，直线斜率的取值范围是，故选：．,3．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为　　A．B．3C．D．【解答】解：椭圆的左、右顶点分别为、，点坐标为，点坐标为，又直线的斜率为，直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，设点坐标为，则，解得，，故直线斜率，故选：．4．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：因为可得，即，而在三角形中，，所以上式可得,而，所以可得，即，由题意可得，，设，，可得，由双曲线的对称性设在第一象限，如图所示：在中，，在中，，所以，所以可得，所以离心率故选：．5．已知，，为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线，的斜率记为，，则的最小值为　　A．8B．4C．2D．1【解答】解：满足为坐标原点），，关于原点对称，设，，，，，，则，，直线，的斜率记为，，满足，则，,即的最小值为4．故选：．6．已知，，是双曲线上不同的三点，且，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：由题意，设，，，，则，，，，，两式相减可得，，，，则．故选：．7．已知，，是双曲线上的不同的三点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，是关于的方程的两个实数根，若，为坐标原点，则双曲线的离心率是　　A．2B．C．D．【解答】解：设点的坐标为，点的坐标为，，因为，所以点的坐标为，，因为，所以，即，,又，在双曲线上，所以，，两式相减得，即，又因为，所以，所以，所以，，故选：．二．填空题（共4小题）8．已知、、为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线、的斜率记为，，则的最小值为　　【解答】解：由为坐标原点），得为的中点，设，，，，则，，，，故，①又由、、为双曲线上的点，，，代入①，可得．．当且仅当时上式“”成立．的最小值为．故答案为：．9．已知，是椭圆和双曲线的公共顶点，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点，都异于，，且，其中，,设直线，，，的斜率分别为，，，，若，则　　．【解答】解：根据题意可得，，设，，，，因为其中，所以，，，，，所以，因为，都异于，，所以，，，由，①因为，②由①②得，，，又因为，所以．故答案为：．10．已知，椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直,线、、、的斜率分别为、、、，则　0　．【解答】解：、为椭圆和双曲线的公共顶点，、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，由，，即，可得，则点，，三点共线．设，，，，则，同理，得：，，，，，．故答案为：0．11．已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线，的斜率乘积，则该双曲线的离心率　　．【解答】解：由题意，设，，，，则，，，两式相减可得，，,，故答案为：三．解答题（共4小题）12．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为（1）若直线平分线段，求的值；（2）当时，求点到直线的距离；（3）对任意，求证：．【解答】解：（1）由题设知，，，故，，所以线段中点坐标为．由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，所以．（2）直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，因此，，，于是，，直线的斜率为1，故直线的方程为．因此，．（3）设，，，，则，，，,，，，，，，，．设直线，的斜率分别为，．因为在直线上，所以，从而．因此，所以．13．已知椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知两点，及椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，设线段的中点为，连接，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点？（Ⅲ）过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于，求证：．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）连接，为坐标原点，为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为是△的中位线，且，所以，所以，故．（2分）在中，即，又，解得，，所求椭圆的方程为．（4分）,（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆设直线的方程为并代入整理得：由△得：，（5分）设，，，，，则由中点坐标公式得：（6分）①当时，有，直线显然过椭圆的两个顶点，．（7分）②当时，则，直线的方程为此时直线显然不能过椭圆的两个顶点，；若直线过椭圆的顶点，则，即，所以，解得：（舍去），（8分）若直线过椭圆的顶点，则，即，所以，解得：（舍去）．（9分）综上，当或或时，直线过椭圆的顶点．（10分）（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为，（11分）根据题意可设，则，则直线的方程为，①过点且与垂直的直线方程为，②①②并整理得：，,又在椭圆上，所以，所以，即①、②两直线的交点在椭圆上，所以．（14分）法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为根据题意可设，则，，，，所以直线，化简得，所以，因为，所以，则．（12分）所以，则，故．（14分）14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．（1）若直线平分线段，求的值；（2）求，面积的最大值，并指出对应的点的坐标；（3）对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．,【解答】（1）解：由题设知，，，故，，线段中点坐标为．由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，；（2）解：，，，设与平行的直线方程为，联立，得．由△，解得：．由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，最大值．即面积有最大值，等于．由，解得，．点坐标为；（3）证明：设，，，，中点，，则，，两式作差可得：，，即．，，即．．，，,，即．．．故，，三点共线．15．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率．【解答】解：设，，，，则，，，，，，，，，，①，，②由①②可得，即，