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突破新高考数学精选压轴题 第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形(解析版)

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第1讲圆锥曲线第一定义与焦点三角形一.选择题(共8小题)1.已知椭圆的焦点为,,过点的直线与椭圆交于,两点.若,,则的方程为  A.B.C.D.【解答】解:,,又,,又,,,,,,,在轴上.在△中,,在△中,由余弦定理可得,根据,可得,解得,..所以椭圆的方程为:.故选:.,2.若椭圆和双曲线有相同的焦点,,是两条曲线的一个交点,则的值是  A.B.C.D.【解答】解:设在第一象限,,,由椭圆的定义可得,由双曲线的定义可得,解得,,则,故选:.3.已知,分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线右支上一点,,△的面积为,则双曲线的离心率为  A.B.C.D.【解答】解:由是双曲线右支上一点,所以,在△中,由余弦定理有,所以,所以,所以,所以,所以离心率,故选:.4.已知,分别是双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为,且,则此双曲线的离心率是  A.B.2C.4D.5【解答】解:由题意可得:,,解得,,,又,代入化简可得,,所以,解得.故选:.5.在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于,两点,若,则该双曲线的渐近线方程为  A.B.C.D.【解答】解:把代入双曲线,可得:,,,,,.该双曲线的渐近线方程为:.故选:.6.已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于,两点,若,则双曲线的渐近线方程为  A.B.C.D.【解答】解:把代入双曲线双曲线,可得:,,.,.,,则双曲线的渐近线方程为,故选:.7.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为,则  A.B.C.D.【解答】解:的焦点,等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则等边三角形关于轴轴对称两个边的斜率,其方程为:,每条直线与抛物线均有两个交点,焦点两侧的两交点连接,分别构成一个等边三角形.故,故选:.8.在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于,两点,已知双曲线的一条渐近线方程为,且,则实数的值为  A.1B.2C.3D.4【解答】解:由题意可知,联立方程组,消去可得:,设,,,,则,,,又,,.故选:.二.多选题(共2小题)9.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,为的中点,则  A.以线段为直径的圆与轴相切B.当时,C.以线段为直径的圆与直线相离D.的最小值为3【解答】解:当直线的斜率不存在时,以线段为直径的圆与轴相切;当直线的斜率存在且不为0,可设直线的方程为,联立,可得,设,,,,可得,,设,,可得的横坐标为,的中点的横坐标为,,当时,的中点的横坐标为,,得以线段为直径的圆与轴相交,故错;以为极点,轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为,设,,,,可得,,可得,又,可得,,则,故正确;的焦点,准线方程为,设,,在准线上的射影为,,,,由,,,可得线段为直径的圆与准线相切,与直线轴相交,故正确;当直线垂直于轴,可得为通径,取得最小值4,故错误.故选:.10.已知抛物线,过焦点的直线交抛物线于,,,两点,直线,分别于直线相交于,两点.则下列说法正确的是  A.焦点的坐标为B.C.的最小值为4D.与的面积之比为定值【解答】解:抛物线的方程整理可得:,所以焦点,所以不正确;由椭圆的焦点在轴可得,直线的斜率一点存在,设直线的方程为:,联立,整理可得:,所以,所以,故正确;所以△,,当轴时最小,这时直线的方程为,代入抛物线的方程可得,,所以,所以最小值为4;所以正确;由题意可得直线,的方程分别为:,,与的交点分别为,,,,,所以;到直线的距离,弦长,所以,所以,所以与的面积之比为定值,故正确;故选:.三.填空题(共7小题)11.已知椭圆的两个焦点为,,过的直线与椭圆交于、两点,若,,则的方程为  .【解答】解:由题意可得,设:,由可得,由椭圆的定义可得,,,又因为,所以在△中,,即,①在中,,即,整理可得,②将②代入①中可得,所以,所以椭圆的方程为:;故答案为:.12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上一点,且满足为坐标原点).若,则椭圆的离心率为  .【解答】解:取的中点,连接,,所以可得,又因为,所以,即,而为的中点,所以,可得,因为,而,所以可得:,,在△中,由勾股定理可得,即,可得,所以,故答案为:.13.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的通径(过焦点垂直于长轴的弦叫做通径),则的内切圆方程为  .【解答】解:设内切圆的半径为,椭圆,其中,,,则,与轴垂直,则有,,解得:,,的周长,,其面积,由内切圆的性质可知,有,解得.圆心横坐标为,即圆心坐标为,,则的内切圆方程是,故答案为:.14.过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,两点,,在轴上的正射影分别为,.若梯形的面积为,则 2 .【解答】解:抛物线的焦点坐标为,则过焦点斜率为1的直线方程为,设,,,,由题意可知,由,消去得,由韦达定理得,,所以梯形的面积为:所以,又,所以故答案为2.15.过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于,两点,,在轴上的正射影分别为,,若梯形的面积为,则 3 .【解答】解:抛物线方程为,设,点坐标分别为,,,,,焦点坐标为,,直线的方程为,,代入抛物线方程得,,,,则梯形的面积为,.故答案为:316.过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,两点,又过,两点作轴的垂线,垂足分别为,,若梯形的面积为,则  【解答】解:抛物线的焦点坐标为,则过焦点斜率为1的直线方程为,设,,,,由题意可知,.由,消去得,由韦达定理得,,梯形的面积为:,又,.故答案为.17.在平面直角坐标系中,双曲线.的右支与焦点为的抛物,线交于,两点,已知双曲线的离心率为,若.则 4 .【解答】解:双曲线的离心率为,即为,即有,即,设,,,,抛物线的焦点,准线为,可得,联立抛物线方程和双曲线方程可得:,即,可得,即有,即.故答案为:4.四.解答题(共1小题)18.已知椭圆过点,,椭圆与轴交于,两点,与轴交于,两点.(1)求四边形的面积;(2)若四边形的内切圆的半径为,点,在椭圆上,直线斜率存在,且与圆相切,切点为,求证:.【解答】解:(1)依题意,,解得,,所以椭圆的方程为.故四边形的面积.(2)证明:要证,只需证,,因为直线的方程为,即,所以原点到直线的距离,所以,设直线方程为:,,,,,则,所以;①由,得当△,,,所以,由①得,所以.

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发布时间:2023-12-25 09:05:01 页数:12
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文章作者:180****8757

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