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京津专用2022高考数学总复习优编增分练:压轴大题突破练一直线与圆锥曲线1文
京津专用2022高考数学总复习优编增分练:压轴大题突破练一直线与圆锥曲线1文
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(一)直线与圆锥曲线(1)1.(2022·烟台模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),点在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A(-2,0)作两条相交直线l1,l2,l1与椭圆交于P,Q两点(点P在点Q的上方),l2与椭圆交于M,N两点(点M在点N的上方),若直线l1的斜率为-,S△MAP=S△NAQ,求直线l2的斜率.解 (1)由已知得解得a=6,b=1.故椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题设可知:直线l1的方程为x=-7y-2.联立整理得85y2+28y-32=0.yP=,yQ=-.∴===.设∠MAP=∠QAN=θ,∵S△MAP=S△NAQ,∴|AM||AP|sinθ=×|AN||AQ|sinθ,即=×=×=.设直线l2的方程为x=my-2(m≠0),将x=my-2代入+y2=1,得(m2+36)y2-4my-32=0.①设M(x1,y1),N(x2,y2),6\n则y1+y2=,y1y2=-.又∵y1=-y2,∴-y2+y2=,-y=-,∴y2=-,y=,∴2=,解得m2=4,∴m=±2,此时①式的判别式大于零.故直线l2的斜率为±.2.(2022·南昌模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两焦点分别是F1,F2,点E在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是y轴上的一点,若椭圆C上存在两点M,N,使得=2,求以F1P为直径的圆面积的取值范围.解 (1)由已知,得半焦距c=,2a=|EF1|+|EF2|=+=4,所以a=2,所以b2=a2-c2=8-2=6,所以椭圆C的方程是+=1.(2)设点P的坐标为(0,t),当直线MN斜率不存在时,可得M,N分别是短轴的两端点,得到t=±.当直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+t,M(x1,y1),N(x2,y2),则由=2得x1=-2x2,①联立6\n得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0,由题意,得Δ=64k2t2-4(3+4k2)(4t2-24)>0,整理得t2<8k2+6,由根与系数的关系得x1+x2=,x1·x2=,②由①②,消去x1,x2得k2=,由解得<t2<6,综上≤t2<6,又因为以F1P为直径的圆面积S=π·,所以S的取值范围是.3.(2022·湘潭模拟)已知点A是抛物线C:x2=2py上一点,且A到C的焦点的距离为.(1)求抛物线C的方程;(2)若P是C上一动点,且P不在直线l:y=2x+9y0上,l交C于E,F两点,过P作直线垂直于x轴且交l于点M,过P作l的垂线,垂足为N.证明:=|EF|.(1)解 依题意得∴+=,∵p>,∴p=1,故抛物线C的方程为x2=2y.(2)证明 由(1)知,y0=,联立得4x2-16x-9=0,解得x1=-,x2=,∴|EF|==5.6\n设P,则M的横坐标为m,易知A在l上,则|AM|=.由题意可知直线PN的方程为y-=-(x-m),与y=2x+联立可得xN=,所以|AN|==,则=5,故=|EF|.4.(2022·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0),A,B是椭圆与x轴的两个交点,M为椭圆C的上顶点,设直线MA的斜率为k1,直线MB的斜率为k2,k1k2=-.(1)求椭圆C的离心率;(2)设直线l与x轴交于点D(-,0),交椭圆于P,Q两点,且满足=3,当△OPQ的面积最大时,求椭圆C的方程.解 (1)M(0,b),A(-a,0),B(a,0),k1=,k2=-,k1k2=-·=-=-,e==.(2)由(1)知e==,得a2=3c2,b2=2c2,可设椭圆C的方程为2x2+3y2=6c2,设直线l的方程为x=my-,由得(2m2+3)y2-4my+6-6c2=0,因为直线l与椭圆C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,所以Δ=48m2-4(2m2+3)(6-6c2)>0,6\n由根与系数的关系得,y1+y2=,y1y2=.又=3,所以y1=-3y2,代入上述两式得6-6c2=-,所以S△OPQ=|OD||y1-y2|===≤,当且仅当m2=时,等号成立,此时c2=,代入Δ,此时Δ>0成立,所以椭圆C的方程为+=1.5.(2022·天津市部分区模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线y=k(x-1)(k>0)与椭圆C交于A,B两点,且与x轴,y轴交于M,N两点.(ⅰ)若=,求k的值;(ⅱ)若点Q的坐标为,求证:·为定值.(1)解 因为+=1(a>b>0)满足a2=b2+c2,又离心率为,所以=,即a2=2c2,代入a2=b2+c2,得b2=c2.又椭圆C的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为2,即×b×2c=2,即bc=2,b2c2=4,以上各式联立解得a2=4,b2=2,则椭圆C的方程为+=1.(2)(ⅰ)解 直线y=k(x-1)与x轴交点为M(1,0),与y轴交点为N(0,-k),联立消去y得,6\n(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,Δ=16k4-4(1+2k2)(2k2-4)=24k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,又=(x2-1,y2),=(-x1,-k-y1),由=,得x1+x2==1,解得k=±,由k>0,得k=.(ⅱ)证明 由(ⅰ)知x1+x2=,x1x2=,所以·=·=+y1y2=+k2(x1-1)(x2-1),=(1+k2)++k2+,=+,=+=-4+=-,为定值,所以·为定值.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:58:20
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文章作者:U-336598
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