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京津专用2022高考数学总复习优编增分练:压轴大题突破练二直线与圆锥曲线2理

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(二)直线与圆锥曲线(2)1.(2022·洛阳模拟)已知抛物线C:y=-x2,点A,B在抛物线上,且横坐标分别为-,,抛物线C上的点P在A,B之间(不包括点A,点B),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP的斜率k的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解 (1)由题意可知A,B,设P(xP,-x),-<xP<,所以k==-xP+∈(-1,1),故直线AP的斜率k的取值范围是(-1,1).(2)直线AP:y=kx+k-,直线BQ:x+ky+k-=0,联立可知,点Q的横坐标为xQ=,|PQ|=(xQ-xP)=6\n=,|PA|==(1-k),所以|PA|·|PQ|=(1-k)3(1+k),令f(x)=(1-x)3(1+x),-1<x<1,则f′(x)=(1-x)2(-2-4x)=-2(1-x)2(2x+1),当-1<x<-时,f′(x)>0,当-<x<1时,f′(x)<0,故f(x)在上单调递增,在上单调递减.故f(x)max=f=,即|PA|·|PQ|的最大值为.2.(2022·葫芦岛模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2c,离心率为,圆O:x2+y2=c2,A1,A2是椭圆的左、右顶点,AB是圆O的任意一条直径,△A1AB面积的最大值为2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)若l为圆O的任意一条切线,l与椭圆C交于两点P,Q,求|PQ|的取值范围.解 (1)设B点到x轴距离为h,则==2··|A1O|·h=a·h,易知当线段AB在y轴时,hmax=|BO|=c,∴=a·c=2,∵e==,∴a=2c,∴a=2,c=1,b=,∴椭圆C的方程为+=1,圆O的方程为x2+y2=1.(2)①当直线l的斜率不存在时,求得|PQ|=3;②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,∵直线为圆的切线,∴d==1,6\n∴m2=k2+1,联立得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,判别式Δ=48(3k2+2)>0,由根与系数的关系得∴弦长|PQ|=|x1-x2|=,令t=4k2+3≥3,则|PQ|=·∈.综上,|PQ|∈.3.(2022·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴为MN,点P(4,0)满足·=15.(1)求椭圆C的方程;(2)设O为坐标原点,过点P的动直线l与椭圆交于点A,B,是否存在常数λ,使得·+λ·为定值?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解 (1)·=(-4,b)·(-4,-b)=16-b2=15,所以b=1,又==,所以a2=4,从而椭圆C的方程为+y2=1.(2)当l不为x轴时,设l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2).联立l与C的方程可得(m2+4)y2+8my+12=0,所以y1+y2=-,y1y2=,·+λ·=x1x2+y1y2+λ[(x1-4)(x2-4)+y1y2]=(1+λ)(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+166\n=+16.因为·+λ·为定值,所以=,解得λ=,此时定值为.当l为x轴时,A(-2,0),B(2,0).·+λ·=-4+·12=.综上,存在λ=,使得·+λ·为定值.4.(2022·宿州质检)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=,以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若经过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在直线l0:x=x0(x0>2),使得A,B到直线l0的距离dA,dB满足=恒成立,若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.解 (1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),∵=,∴c=a,又∵4=4,∴a2+b2=5,由b2=a2-c2=a2,解得a=2,b=1,c=.∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)若直线l的斜率不存在,则直线l0为任意的x=x0(x0>2)都满足要求;当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨令x1>1>x2),则dA=x0-x1,dB=x0-x2,|PA|=(x1-1),|PB|=(1-x2),6\n∵=,∴==,解得x0=.由得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,x1+x2=,x1x2=,x0==4.综上可知,存在直线l0:x=4,使得A,B到直线l0的距离dA,dB满足=恒成立.5.(2022·四省大联考)如图,在平面直角坐标系中,已知点F(1,0),过直线l:x=2左侧的动点P作PH⊥l于点H,∠HPF的角平分线交x轴于点M,且|PH|=|MF|,记动点P的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点F作直线m交曲线Γ于A,B两点,点C在l上,且BC∥x轴,试问:直线AC是否恒过定点?请说明理由.解 (1)设P(x,y),由题意可知|MF|=|PF|,所以==,即=,化简整理得+y2=1,即曲线Γ的方程为+y2=1.(2)由已知可得直线m的斜率不为0,∴可设直线m的方程为x=ny+1,联立消去x,得(n2+2)y2+2ny-1=0,Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(2,y2),6\n则y1+y2=-,y1y2=-,x1=ny1+1,∴直线AC的斜率为k=,直线AC的方程为y-y2=(x-2),即y=,又===,∴直线AC的方程为y==,∴直线AC过定点N.6

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发布时间:2022-08-25 23:58:18 页数:6
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文章作者:U-336598

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