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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)
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第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)本节知识在江苏高考试题中要求比较低,椭圆的标准方程和几何性质是B级考点,其余都是A级考点,但高考必考.在理解定义的基础上,只需对标准方程及其性质熟悉,特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围).要能准确建模(方程或不等式).1.掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题;了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法.2.了解双曲线的标准方程,会求双曲线的标准方程;了解双曲线的简单几何性质.3.了解抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;了解抛物线的简单几何性质.1.若椭圆+=1的离心率e=,则m=________.答案:3或2.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则M到该抛物线焦点的距离为________.答案:3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为________.答案:-=1解析:由题设可得双曲线方程满足3x2-y2=λ(λ>0),即-=1,于是c2=+λ=.又抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,因为双曲线的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则c2==36,于是λ=27,所以双曲线的方程-=1.4.在平面直角坐标系xOy中,点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P、Q两点.若△PQM是钝角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是________.答案:解析:由题意可得点M坐标是,又△PQM是钝角三角形,所以圆心M到y轴的距离c小于MF,即c<·,ac<b2=a2-c2,c2+ac-a2<0,所以e2+e-1<0,解得<e<.又e>0,所以0<e<.题型一轨迹问题-14-\n例1离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)上有一点M到椭圆两焦点的距离之和为10,以椭圆C的右焦点F(c,0)为圆心,短轴长为直径的圆有切线PT,T为切点,且点P满足|PT|=|PB|(B为椭圆C的上顶点).(1)求椭圆的方程;(2)求动点P的轨迹的方程.解:(1)∵2a=10,=,a2=b2+c2,∴a=5,c=4,b=3,∴椭圆方程是+=1.(2)设点P(x,y),∵F(4,0),R=3,B(0,3),|PT|=|PB|,∴PF2-9=PB2,∴(x-4)2+y2-9=x2+(y-3)2,整理得到4x-3y+1=0.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.解:(1)设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),∵点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,∴xP=x且yP=y.∵P在圆x2+y2=25上,∴x2+=25,整理得+=1,即C的方程是+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是y=(x-3),设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程+=1,得+=1,化简得x2-3x-8=0,∴x1=,x2=,∴|AB|====,即所截线段的长度是.题型二椭圆的几何性质例2已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0),离心率为e.(1)若e=,求椭圆的方程;(2)设A、B为椭圆上关于原点对称的两点,AF1的中点为M,BF1的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上.①证明:点A在定圆上;②设直线AB的斜率为k,若k≥,求e的取值范围.-14-\n(1)解:由e=,c=2,得a=2,b=2,则所求椭圆方程为+=1.(2)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),故M,N.①证明:由题意,得·=0,化简,得x+y=4,所以点A在以原点为圆心,2为半径的圆上.②解:设A(x0,y0),则+=(1+k2).将e==,x得a=,b2=a2-c2=-4,代入上式整理,得k2(2e2-1)=e4-2e2+1.因为e4-2e2+1>0,k2>0,所以2e2-1>0,即e>.又k2=≥3,化简得解得<e2≤4-2,即<e≤-1.故离心率的取值范围是.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.(1)求椭圆的方程;(2)设A、B、M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使=cosθ+sinθ.①求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;②求OA2+OB2.(1)解:依题意,得c=1,于是a=,b=1,所以所求椭圆的方程为+y2=1.(2)①证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则+y=1①,+y=1②.又设M(x,y),因=cosθ+sinθ,故因M在椭圆上,故+(y1cosθ+y2sinθ)2=1.整理得cos2θ+sin2θ+2cosθsinθ=1.将①②代入上式,并注意cosθsinθ≠0,得+y1y2=0.所以kOAkOB==-为定值.②解:因(y1y2)2==·=(1-y)·(1-y)=1-(y+y)+yy,故y+y=1.-14-\n又+=2,故x+x=2,所以OA2+OB2=x+y+x+y=3.题型三直线与椭圆的位置关系例3如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.(1)解:由题意知b==,因为离心率e==,所以==,所以a=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由题意可设M、N的坐标分别为(x0,y0)、(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1,①直线QN的方程为y=x+2.②(证法1)联立①②解得x=,y=,即T.由+=1可得x=8-4y.因为+=====1,所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.(证法2)设T(x,y).联立①②解得x0=,y0=.因为+=1,所以+=1.整理得+=(2y-3)2,所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.题型四与椭圆有关的综合问题-14-\n例4如图,已知A1、A2、B1、B2是椭圆C:+=1(a>b>0)的四个顶点,△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆M.(1)求椭圆C及圆M的方程;(2)若点D是圆M劣弧上一动点(点D异于端点A1、B2),直线B1D分别交线段A1B2、椭圆C于点E、G,直线B2G与A1B1交于点F.①求的最大值;②试问:E、F两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意知,B2(0,1),A1(-,0),所以b=1,a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.易得圆心M,A1M=,所以圆M的方程为+y2=.(2)设直线B1D的方程为y=kx-1,与直线A1B2的方程y=x+1联立,解得点E,联立消去y并整理,得(1+3k2)x2-6kx=0,解得点G,①因为G、E、B1共线,所以====1-=1+≤1+=,当且仅当k=-时,取“=”,所以的最大值为.②直线B2G的方程为y=x+1=-x+1,与直线A1B1的方程y=-x-1联立,解得点F,-14-\n所以E、F两点的横坐标之和为+=-2.故E、F两点的横坐标之和为定值,该定值为-2.在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1、l2.当直线l1、l2都与圆C相切时,求P的坐标.解:(1)由x2+y2-4x+2=0,得(x-2)2+y2=2,故圆C的圆心为点(2,0),从而可设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),其焦距为2c,由题设知c=2,e==,∴a=2c=4,b2=a2-c2=12,故椭圆E的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x0,y0),l1、l2的斜率分别为k1、k2.则l1、l2的方程分别为l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且k1k2=.由l1与圆C:(x-2)2+y2=2相切,得=,即[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k1+y-2=0.同理可得[(2-x0)2-2]k+2(2-x0)y0k2+y-2=0.从而k1、k2是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y-2=0的两个实根,于是①且k1k2==.由得5x-8x0-36=0,解得x0=-2或x0=.由x0=-2,得y0=±3;由x0=,得y0=±,它们满足①式,故点P的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或,或.1.(2022·安徽卷)设F1、F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A、B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.答案:x2+y2=1解析:设B在x轴上的射影为B0,由题意得|B0F1|=|F1F2|=,得B0坐标为,即B点横坐标为-.设直线AB的斜率为k.又直线过点F1(-c,0),∴直线AB的方程为y=k(x+c).-14-\n由得(k2+b2)x2+2ck2x+k2c2-b2=0,其两根为-和c,由韦达定理得解得c2=,∴b2=1-c2=.∴椭圆方程为x2+y2=1.2.(2022·江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A、B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为________.答案:解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,∴+=0,即=-=-×1=.∴a2=2b2=2(a2-c2),即a2=2c2,∴e=.3.(2022·湖北卷)已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为________.答案:解析:由椭圆和双曲线的定义可知,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2.∵∠F1PF2=,∴由余弦定理可得4c2=r+r-2r1r2cos ①.在椭圆中,①化简为即4c2=4a-3r1r2,即=-1 ②;在双曲线中,①化简为即4c2=4a+r1r2,即=-+1 ③.联立②③,得+=4,由柯西不等式得≥,即≤×4=,即+≤=.4.(2022·湖南卷)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,则=________.-14-\n答案:1+解析:依题意可得C,F,代入抛物线方程得a=p,b2=2a,化简得b2-2ab-a2=0,即-2-1=0,解得=1+.5.(2022·重庆卷)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2,由=2,得DF1==c.从而S△DF1F2=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=.由DF1⊥F1F2,得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1,因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y=0,由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3x+4x=0.-14-\n解得x1=-或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C,由F1P1,F2P2过圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥F1P1.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.6.(2022·天津卷)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.解:(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2.又b2=a2-c2,则=,所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又点P在椭圆上,所以+=1.②由①和②可得3x+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c.代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r==c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.-14-\n由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±,所以直线l的斜率为4+或4-.(本题模拟高考评分标准,满分16分)(2022·南师附中)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,两个顶点分别为A1(-2,0)、A2(2,0).过点D(1,0)的直线交椭圆于M、N两点,直线A1M与NA2的交点为G.(1)求实数a、b的值;(2)当直线MN的斜率为1时,若椭圆上恰有两个点P1、P2使得△P1MN和△P2MN的面积为S,求S的取值范围;(3)求证:点G在一条定直线上.(1)解:由题设可知a=2.(1分)因为e=,即=,所以c=.因为b2=a2-c2=4-3=1,所以b=1.(2分)(2)解:由题设可知,椭圆的方程为+y2=1,直线MN的方程为y=x-1.设M(x1,y1)、N(x2,y2),联立方程组消去y可得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=.将x1=0,x2=代入直线MN的方程,解得y1=-1,y2=.所以MN==.(4分)设与直线MN平行的直线m的方程为y=x+λ.联立方程组消去y可得5x2+8λx+4λ2-4=0,若直线m与椭圆只有一个交点,则满足Δ=64λ2-20(4λ2-4)=0,解得λ=±.(6分)当直线m为y=x-时,直线MN与m之间的距离为d1==;当直线m为y=x+时,直线MN与m之间的距离为d2==.(8分)设点C到MN的距离为d,要使△CMN的面积为S的点C恰有两个,则需满足d1<d<d2,-14-\n即<d<.因为S=d·MN=d,所以<S<.(10分)(3)证明:(方法1)设直线A1M的方程为y=k1(x+2),直线A2N的方程为y=k2(x-2).联立方程组消去y得(1+4k)x2+16kx+16k-4=0,解得点M的坐标为.同理,可解得点N的坐标为.(12分)由M、D、N三点共线,有=,化简得(k2-3k1)(4k1k2+1)=0.由题设可知k1与k2同号,所以k2=3k1.(14分)联立方程组解得交点G的坐标为.将k2=3k1代入点G的横坐标,得xG===4.所以,点G恒在定直线x=4上.(16分)(方法2)显然,直线MN的斜率为0时不合题意.设直线MN的方程为x=my+1.令m=0,解得M、N或M、N.当M、N时,直线A1M的方程为y=x+,直线A2N的方程为y=x-.联立方程组解得交点G的坐标为(4,);当M、N时,由对称性可知交点G的坐标为(4,-).若点G恒在一条定直线上,则此定直线必为x=4.(12分)下面证明对于任意的实数m,直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上.设M(x1,y1)、N(x2,y2)、G(4,y0).由点A1、M、G三点共线,有=,即y0=.-14-\n再由点A2、N、G三点共线,有=,即y0=.所以=. ①将x1=my1+1,x2=my2+1代入①式,化简得2my1y2-3(y1+y2)=0. ②(14分)联立方程组消去x得(m2+4)y2+2my-3=0,从而有y1+y2=,y1y2=.将其代入②式,有2m·-3·=0成立.所以当m为任意实数时,直线A1M与直线A2N的交点G均在直线x=4上.(16分)1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是________,若该方程表示双曲线,则m的取值范围是________.答案: (-∞,1)∪(2,+∞)2.点P为椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1、F2为椭圆的焦点,如果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为________.答案:3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________.答案:x=-14.设P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,点Q在椭圆+y2=1上移动,则|PQ|的最大值是________.答案:1+解析:圆心C(0,2),|PQ|≤|PC|+|CQ|=1+|CQ|,于是只要求|CQ|的最大值.设Q(x,y),∴|CQ|===.∵-1≤y≤1,∴当y=-时,|CQ|max==,∴|PQ|max=1+.5.如图,椭圆C:+=1的右顶点为A,上、下两个顶点分别为B、D,四边形OAMB是矩形(O为坐标原点),点E、P分别是线段OA、AM的中点.(1)求证:直线DE与直线BP的交点在椭圆C上;(2)若过点B的直线l1、l2与椭圆C分别交于点R、S(不同于B),且它们的斜率k1、k2满足k1k2=-,求证:直线RS过定点,并求出此定点的坐标.-14-\n证明:(1)由题意得A(4,0),B(0,2),D(0,-2),E(2,0),P(4,1),所以直线DE的方程为y=x-2,直线BP的方程为y=-x+2.解方程组得所以直线DE与直线BP的交点坐标为.因为+=1,所以点在椭圆+=1上,即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上.(2)直线BR的方程为y=k1x+2.解方程组得或所以点R的坐标为.因为k1k2=-,所以直线BS的斜率k2=-,直线BS的方程为y=-x+2.解方程组得或所以点S的坐标为.(若写成“同理可得点S的坐标为”也可以)所以R、S关于坐标原点O对称,故R、O、S三点共线,即直线RS过定点O.6.如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0),点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点,直线AB与圆G:x2+y2=(c是椭圆的半焦距)相离,P是直线AB上一动点,过点P作圆G的两切线,切点分别为M、N.(1)若椭圆C经过两点、,求椭圆C的方程;(2)当c为定值时,求证:直线MN经过一定点E,并求·的值(O是坐标原点);(3)若存在点P使得△PMN为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围.-14-\n(1)解:令椭圆mx2+ny2=1,其中m=,n=,得所以m=,n=,即椭圆C的方程为+=1.(2)证明:直线AB:+=1,设点P(x0,y0),则OP的中点为,所以点O、M、P、N所在的圆的方程为+=,化简为x2-x0x+y2-y0y=0,与圆x2+y2=作差,即有直线MN:x0x+y0y=.因为点P(x0,y0)在直线AB上,所以+=1,将y0=b+x0代入MN方程,化简得x0(x+y)+=0,所以得x=-,y=,故定点E,则·=·(-,)=.(3)解:直线AB:+=1与圆G:x2+y2=(c是椭圆的半焦距)相离,则>,即4a2b2>c2(a2+b2),即4a2(a2-c2)>c2(2a2-c2),得e4-6e2+4>0.因为0<e<1,所以0<e2<3-.①连结ON、OM、OP,若存在点P使△PMN为正三角形,则在Rt△OPN中,OP=2ON=2r=c,所以≤c,即a2b2≤c2(a2+b2),即a2(a2-c2)≤c2(2a2-c2),得e4-3e2+1≤0.因为0<e<1,所以≤e2<1.②综上,由①②得≤e2<3-,所以≤e<.-14-
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高考 - 二轮专题
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