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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)
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第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)1.抛物线x=4y2的准线方程是________.答案:x=-解析:将抛物线写成标准形式y2=x再计算.2.若椭圆+=1的离心率e=,则m的值是________.答案:3或解析:当m>5时,=,解得m=;当m<5时,=,解得m=3.所以,m=3或m=.3.以双曲线-=1的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为________.答案:(x-5)2+y2=16解析:双曲线右焦点为F(c,0),又a=3,b=4,所以c=5,所以F(5,0),双曲线渐近线方程为y=±x,因而圆心到渐近线距离d==4.所以圆的方程为(x-5)2+y2=16.4.已知双曲线过点(2,1)且其中一条渐近线方程为x-y=0,则该双曲线的焦点坐标为________.答案:(,0),(-,0)解析:设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),代入点(2,1),解得双曲线的标准方程是-=1,因此焦点坐标是(,0),(-,0).5.△ABC中,A(-2,0),B(2,0),且AC、AB、BC成等差数列,则点C的轨迹方程是________________.答案:+=1(y≠0)解析:由题可得AC+BC=8>4,由椭圆的定义,点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(除去与x轴的交点).6.已知P是椭圆+=1上的动点,F1、F2是椭圆的两个焦点,则·的取值范围是______________.答案:[-4,4]解析:已知F1(2,0),F2(-2,0),设P(x,y),P在椭圆上,因此·=x2+y2-8=12-3y2+y2-8=-2y2+4,结合-2≤y≤2,可求出范围.7.双曲线-=1(a>b>0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的范围为________.答案:(1,2]∪[3,6)解析:设P到右准线距离为d,则有=e,又由题设知PF1=6d=PF2,由双曲线的定义知PF1-PF2=2a,从而有PF2-PF2=2a,即有PF2(-1)=2a,即PF2=≥c-a,-11-\n两边同除a,整理化简可得≥0,即≤0,即1<e≤2或3≤e<6.8.在平面直角坐标系xOy中,已知A、B分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,△ABC的顶点C在双曲线的右支上,则=________.答案:-解析:(解法1)由正弦定理得===-,又=2,∴-=-.(解法2)(特殊位置法)假设在△ABC中,∠ABC=90°,设AC=n,BC=m,则由题意可得解得m=3,n=5,所以===-.9.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为____________.答案:y2=3x解析:根据抛物线定义知,点B到直线l的距离等于|BF|,故直线AB的倾斜角为,直线AB的方程为y=,|AF|=3,则xA+=3,所以xA=3-,yA=(3-p),点A在抛物线上,3(3-p)2=2p,解得p=或p=,yA>0知p=不符,故所求抛物线方程为y2=3x.10.已知椭圆T:+=1,A、B为椭圆T的左、右两个顶点,P为椭圆上异于A、B的任意一点,直线PA、PB交直线x=6于M、N两点,则线段MN的最小值为__________.答案:4解析:由对称性知,不妨设P(x0,y0)在y轴上方,y0>0,则AP的方程为y=(x+2),令x=6,得y1=,BP的方程为y=(x-2),令x=6得y2=,从而MN=y1-y2=4y0·.由(x0,y0)在T上,知y0=·=·,即MN=2·=2·,令6-x0=m>0,则MN=2·=2,-11-\n易知-32+12()-1最大值为-1+=,从而MN最小值为2×2=4.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.(1)当直线AB斜率为0时,AB+CD=7,求椭圆的方程;(2)求AB+CD的取值范围.解:(1)由题意知,e==,CD=7-2a,所以a2=4c2,b2=3c2,故D(c,),因为点在椭圆上,即+=1,所以c=1.所以椭圆的方程为+=1.(2)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知AB+CD=7;②当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1)、B(x2,y2),且设直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为y=-(x-1).将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1=,x2=,所以AB=|x1-x2|=.同理,CD==.所以AB+CD=+=.令t=k2+1,则t>1,3+4k2=4t-1,3k2+4=3t+1,设f(t)==-++12=-+,-11-\n因为t>1,所以∈(0,1),所以f(t)∈,所以AB+CD=∈.综合①与②可知,AB+CD的取值范围是.12.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(-1,-1),c为椭圆的半焦距,且c=b.过点P作两条互相垂直的直线l1、l2与椭圆C分别交于另两点M、N.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l1的斜率为-1,求△PMN的面积;(3)若线段MN的中点在x轴上,求直线MN的方程.解:(1)由条件得+=1,且c2=2b2,所以a2=3b2,解得b2=,a2=4.所以椭圆方程为+=1.(2)设l1方程为y+1=k(x+1),联立消去y得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0.因为P为(-1,-1),解得M.当k≠0时,用-代替k,得N.将k=-1代入,得M(-2,0),N(1,1).因为P(-1,-1),所以PM=,PN=2,所以△PMN的面积为××2=2.(3)(解法1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0.因为线段MN的中点在x轴上,所以y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0.若x1+x2=0,则N(-x1,-y1).因为PM⊥PN,所以·=0,得x+y=2.因为x+3y=4,所以解得x1=±1,所以M(-1,1),N(1,-1)或M(1,-1),N(-1,1).所以直线MN的方程为y=-x.若x1-x2=0,则N(x1,-y1),因为PM⊥PN,所以·=0,得y=(x1+1)2+1.因为x+3y=4,所以解得x1=-或-1,经检验x=-满足条件,x=-1不满足条件.-11-\n综上,直线MN的方程为x+y=0或x=-.(解法2)由(2)知,当k≠0时,因为线段MN的中点在x轴上,所以=-,化简得4k(k2-4k-1)=0,解得k=2±.若k=2+,则M,N,此时直线MN的方程为x=-.若k=2-,则M,N,此时直线MN的方程为x=-.当k=0时,M(1,-1),N(-1,1),满足题意,此时直线MN的方程为x+y=0.综上,直线MN的方程为x=-或x+y=0.13.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)过点A和点B(,1).(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(x0,y0)在椭圆C上,F为椭圆的左焦点,直线l的方程为x0x+3y0y-6=0.①求证:直线l与椭圆C有唯一的公共点;②若点F关于直线l的对称点为Q,求证:当点P在椭圆C上运动时,直线PQ恒过定点,并求出此定点的坐标.(1)解:由题意,得解得所以所求椭圆C的方程为+=1.(2)证明:①联立方程组消去y,得(x+3y)x2-12x0x+36-18y=0.(*)由于点P(x0,y0)在椭圆C上,所以+=1,即3y=6-x.故(*)可化为x2-2x0x+x=0.因为Δ=(-2x0)2-4x=0,所以原方程组仅有一组解,显然x=x0,y=y0是方程组的解,所以直线l与椭圆C有唯一的公共点.②点F的坐标为(-2,0),过点F且与直线l垂直的直线的方程为3y0x-x0y+6y0=0.解方程组得因为点P(x0,y0)在椭圆+=1上,-11-\n所以3y=6-x,所以解为所以点F(-2,0)关于直线l的对称点的坐标为Q.当x0≠2时,kPQ==.所以直线PQ的方程为y-y0=(x-x0),即(x-2)y0-yx0+2y=0.所以即直线PQ过定点M(2,0).当x0=2时,y0=±,此时Q的坐标为(2,±2),直线PQ过点M(2,0).综上,直线PQ恒过定点M(2,0).-11-\n滚动练习(四)1.若全集U=R,集合A={x|x+1<0},B={x|x-3<0},则集合(∁UA)∩B=________.答案:[-1,3)2.方程xlg(x+2)=1有_________个不同的实数根.答案:23.函数y=ln的定义域是________.答案:(-1,0)∪(1,+∞)解析:x->0或x>1或-1<x<0.4.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=3x-2,则f(1)+f′(1)=________.答案:4解析:f′(1)=3,f(1)=3-2=1.故f(1)+f′(1)=4.5.设函数f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为奇函数”是“φ=”的______________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.答案:必要不充分6.设f(x)为偶函数,且对任意的正数x都有f(2+x)=-f(2-x),若f(-1)=4,则f(-3)=________.答案:-4解析:f(-3)=f(3)=-f(2-1)=-f(1)=-f(-1)=-4.7.已知在直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,且位于x轴上方.若点P到坐标原点O的距离为4,则过F、O、P三点的圆的方程是________________.答案:x2+y2-x-7y=0解析:考查抛物线的性质及圆的方程.设P,y>0,|OP|=4,解得y=4,P(4,4).将F、O、P三点代入圆的一般方程可求得.8.若过点C(3,4)且与x轴、y轴都相切的两个不同圆的半径分别为r1、r2,则r1r2=________.答案:25解析:设圆心是(a,b),半径是r,则|a|=|b|=r,且(a-3)2+(b-4)2=r2,解得即可.9.设e1、e2是夹角为60°的两个单位向量.已知=e1,=e2,=x·+y·(x、y为实数).若△PMN是以M为直角顶点的直角三角形,则x-y的取值集合是________.答案:{1}解析:=-=(x-1)e1+ye2,=-=e2-e1.∵MP⊥MN,∴·=0.即(x-1)×-(x-1)+y-y×=0,∴x-y=1.10.若圆x2+y2=r2过双曲线-=1的右焦点F,且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A、B,当四边形OAFB为菱形时,双曲线的离心率为____________.答案:2-11-\n解析:当四边形OAFB为菱形时,点A、B的横坐标都是.因为点A在圆x2+y2=r2上,所以A(r,r),代入bx-ay=0得b=a,b2=3a2,即c2-a2=3a2,所以c=2a,e==2.11.设α、β∈(0,π),且sin(α+β)=,tan=,则cosβ=____________.答案:-解析:sinα==,cosα==,>,α∈,α+β∈,cos(α+β)=-,cosβ=cos[(α+β)-α]=-.12.已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若A≤Sn-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为____________.答案:解析:由等比数列前n项和公式得Sn=1-,∴Tn=Sn-=1--.当n为奇数时,Tn=1+-递减,则0<Tn<T1=;当n为偶数时,Tn=1--递增,则-<T2<0.故-≤Tn≤,∴Amax=-,Bmin=,故(B-A)min=Bmin-Amax=.13.求关于x的方程ax2+2x+1=0(a∈R)至少有一个负实根的充要条件.解:当a=0时,适合;当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a<0;若方程有两个负实根,则解得0<a≤1.综上,方程至少有一个负实根,则a≤1.反之,若a≤1,则方程至少有一个负实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a≤1.14.在△ABC中,已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且=.(1)求B;(2)若tan=7,求cosC的值.-11-\n解:(1)因为=,由正弦定理,得=,所以sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,即sin(B+C)=2sinAcosB.因为B+C=π-A,所以sinA=2sinAcosB.因为A∈(0,π),故sinA≠0,因此cosB=.又B∈(0,π),所以B=.(2)因为tan=7,所以=7,解得tanA=.因为0<A<π,所以A为锐角,所以cosA=,sinA=.所以cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cos=-cosAcos+sinAsin=-×+×=.15.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,M、N是椭圆右准线上的两动点,且·=0.(1)判定原点O与以MN为直径的圆的位置关系;(2)设椭圆离心率为,MN的最小值是2,求椭圆方程.解:(1)设椭圆+=1的焦距为2c(c>0),则其右准线方程为x=,且F1(-c,0),F2(c,0).设M,N,则=,=,=,=.∵·=0,∴+y1y2=0,即+y1y2=c2.于是·=+y1y2=c2>0,故∠MON为锐角.∴原点O在以MN为直径的圆的外部.(2)∵椭圆的离心率为,∴a=2c,-11-\n于是M(4c,y1),N(4c,y2),且y1y2=c2-=-15c2.MN2=(y1-y2)2=y+y-2y1y2=|y1|2+|y2|2+2|y1y2|≥4|y1y2|=60c2.当且仅当y1=-y2=c或y2=-y1=c时取“=”号,∴(MN)min=2c=2,于是c=1,从而a=2,b=,故所求的椭圆方程是+=1.16.已知a、b为常数,a≠0,函数f(x)=ex.(1)若a=2,b=1,求f(x)在(0,+∞)内的极值;(2)①若a>0,b>0,求证:f(x)在区间[1,2]上是增函数;②若f(2)<0,f(-2)<e-2,且f(x)在区间[1,2]上是增函数,求由所有点(a,b)形成的平面区域的面积.(1)解:f′(x)=ex=(ax2+bx-b).当a=2,b=1时,f′(x)=(2x2+x-1)=(x+1)(2x-1),令f′(x)=0,得x=或x=-1(舍去).∵>0,当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数,当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数,∴当x=时,f(x)取得极小值为4.(2)令g(x)=ax2+bx-b,①证明:∵a>0,b>0,∴二次函数g(x)的图象开口向上,对称轴x=-<0,且g(1)=a>0,∴g(x)>0对一切x∈[1,2]恒成立.又>0,∴f′(x)>0对一切x∈[1,2]恒成立.∵f(x)函数图象是不间断的,∴f(x)在区间[1,2]上是增函数.②解:∵f(2)<0,f(-2)<e-2,∴即(*)∵f(x)在区间[1,2]上是增函数,∴f′(x)≥0对x∈[1,2]恒成立.则g(x)=ax2+bx-b≥0对x∈[1,2]恒成立.∴(**)在(*)(**)的条件下得,b<0且1<-≤2,且g==-b≥0恒成立.-11-\n综上,点(a,b)满足的线性约束条件是由所有点(a,b)形成的平面区域为△OAB(如图所示),其中A、B、C(1,0),则S△OAB=S△OAC-S△OBC==.即△OAB面积为.-11-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:21:08
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