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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第19讲 函数与方程思想

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第19讲 函数与方程思想1.已知函数f(x)=loga[x2-(2a)2]对任意x∈都有意义,则实数a的取值范围是________.答案:解析:x2-(2a)2>0对x∈恒成立,又由题知,a>0,a≠1,∴-(2a)2>0,∴0<a<.2.在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8.设S3n为该数列的前3n项和,Tn为数列{a}的前n项和.若S3n=tTn,则实数t的值为________.答案:73.已知f(x)=log2(x-2),若实数m、n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值是________.答案:7解析:由f(m)+f(2n)=3,得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,解得m=.m+n=n+=3+(n-1)+≥7,当且仅当n=3时取等号.4.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为________.答案:6解析:设P(x,y),F(-1,0),=(x,y),=(x+1,y),·=x2+x+y2.又+=1,∴y2=3-x2,x∈[-2,2],则·=+2∈[2,6].5.已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-2)2+(y-4)2=1,由圆外一点P(a,b)作两圆的切线PA、PB,切点分别为A、B,满足PA=PB,则实数a、b满足的等量关系是________.答案:a+2b-5=0解析:PA=PB,则PA2=PB2,PA2=PO2-1,PB2=PC2-1,∴a2+b2=(a-2)2+(b-4)2,整理得a+2b-5=0.6.已知a∈R,若关于x的方程x2-2x+|a+1|+|a|=0有实根,则a的取值范围是________.答案:[-1,0]解析:方程x2-2x+|a+1|+|a|=0可化为|a+1|+|a|=-x2+2x,函数f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,∴|a+1|+|a|≤1,解得-1≤a≤0.(本题也可用判别式来解决)7.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99=________.答案:-2解析:y′=(n+1)xn,切线斜率为n+1,切线方程为y=(n+1)x-n,xn=,an=lg,a1+a2+…+a99=lg(x1x2x3…x99)=lg(××…×)=lg=-2.8.已知正实数x、y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为________.答案:2-39.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足a54=2014,且存在正整数k,使a1-3-\n、a54、ak成等比数列,则公差d的所有可能取值之和为____________.答案:126解析:因为a54=2014,所以a1+53d=2104,所以+d=38,d>0且为正整数,所以a1是53的倍数,因为a1、a54、ak成等比数列,所以a=a1ak=2×2×19×19×53×53.若a1=53,则53+53d=2014,d=37;若a1=2×53,则106+53d=2014,d=36;若a1=4×53,则212+53d=2014,d=34;若a1=1007,则1007+53d=2014,d=19;所以公差d的所有可能取值之和为37+36+34+19=126.10.设函数f(x)=x-,对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是______________.答案:(-∞,-1)解析:因为对任意x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)=2mx--<0恒成立,显然m≠0.当m<0时,有2m2x2-1-m2>0对任意x∈[1,+∞)恒成立,即2m2×1-1-m2>0,解得m2>1,即m<-1;当m>0时,有2m2x2-1-m2<0对任意x∈[1,+∞)恒成立,m无解.综上所述,实数m的取值范围是m<-1.11.在△ABC中,角A、B、C所对边的边分别是a、b、c,已知c=2,C=.(1)若△ABC的面积等于,求a、b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.解:(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,又△ABC的面积等于,所以absinC=,得ab=4.联立方程组解得a=2,b=2.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时,A=,B=,a=,b=,当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组解得a=,b=.所以△ABC的面积S=absinC=.12.设数列{an},a1=1,an+1=+;数列{bn},bn=3n-1an;正数数列{dn},d=1++.(1)求证:数列{bn}为等差数列;(2)设数列{bn},{dn}的前n项和分别为Bn、Dn,求数列{bnDn+dnBn-bndn}的前n项和Sn.(1)证明:由an+1=+,得3nan+1=3n-1an+1.又bn=3n-1an,所以bn+1=bn+1.又b1=a1=1,所以数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.-3-\n(2)解:由(1)得bn=1+(n-1)×1=n,Bn=.因d=1++,故d=1++=1+=.由dn>0,得dn=1+=1+-.于是,Dn=n+1-.又当n≥2时,bnDn+dnBn-bndn=(Bn-Bn-1)Dn+(Dn-Dn-1)Bn-(Bn-Bn-1)(Dn-Dn-1)=BnDn-Bn-1Dn-1,所以Sn=(BnDn-Bn-1Dn-1)+(Bn-1Dn-1-Bn-2Dn-2)+…+(B2D2-B1D1)+B1D1=BnDn.因S1=b1D1+d1B1-b1d1=B1D1也适合上式,故对于任意的n∈N*,都有Sn=BnDn.所以Sn=BnDn=·=(n3+2n2).13.设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过点P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a、b的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.(1)解:f′(x)=1+2ax+.由已知条件得即解得a=-1,b=3.(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知f(x)=x-x2+3lnx.设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则g′(x)=-1-2x+=-.当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,+∞)上单调减小.所以x=1时,g(x)取极大值即为最大值.而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0,即f(x)≤2x-2.-3-

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发布时间:2022-08-26 00:21:06 页数:3
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文章作者:U-336598

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