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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第4讲 函数的实际应用

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第4讲 函数的实际应用1.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.答案:-,-解析:由得∴g(x)=-6x2-5x-1的零点为-,-.2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是__________元.答案:108解析:设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.3.方程x2-2mx+m2-1=0的一根在(0,1)内,另一根在(2,3)内,则实数m的取值范围是________.答案:(1,2)解析:令f(x)=x2-2mx+m2-1,则解得1<m<2.4.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________. 答案:a>1解析:设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.由图象可知当0<a<1时两函数只有一个交点,不符合要求;当a>1时,因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a>1.5.某公司将进价8元/个的商品按10元/个销售,每天可卖100个,若这种商品的销售价每个上涨1元,销售量就减少10个,为了获得最大利润,此商品的销售价应定为每个________元.答案:14解析:设每个销售定价为x元,此时销售量为100-10(x-10),则利润y=(x-8)[100-10(x-10)]=10(x-8)(20-x)≤10=360,当且仅当x=14时取等号.6.已知函数f(x)=ax+2a+1,当x∈[-1,1]时,f(x)有正值也有负值,则实数a的取值范围是_____________.答案:解析:由题意得f(1)·f(-1)<0,即(3a+1)(a+1)<0,解得-1<a<-.7.已知函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b=________.答案:6解析:b=6.-4-\n8.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为________.答案:2解析:当0<x<1时,f(x)=2xlog0.5x-1,令f(x)=0,则log0.5x=.由y=log0.5x,y=的图象知,在(0,1)内有一个交点,即f(x)在(0,1)上有一个零点.当x>1时,f(x)=-2xlog0.5x-1=2xlog2x-1,令f(x)=0得log2x=,由y=log2x,y=的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即f(x)在(1,+∞)上有一个零点.9.已知函数f(x)=则使f[f(x)]=2成立的实数x的集合为________________.答案:{x|0≤x≤1,或x=2}解析:x∈[0,1]时,f[f(x)]=2即为f(2)=2,2[0,1],2=2成立;x[0,1],f[f(x)]=2即为f(x)=2,又f(x)=x,所以x=2.10.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的实数解,则a的取值范围是________.答案:(0,1)解析:设t=f(x),则方程为t2-at=0,解得t=0或t=a,即f(x)=0或f(x)=a.如图,作出函数f(x)的图象,由函数图象,可知f(x)=0的解有两个,故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的解,则方程f(x)=a的解必有三个,此时0<a<1.所以a的取值范围是(0,1).11.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R)满足:对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x)≤(x+2)2成立.(1)证明:f(2)=2;(2)若f(-2)=0,求函数f(x)的表达式;(3)在(2)的条件下,设g(x)=f(x)-x,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y=的上方,求实数m的取值范围.(1)证明:由条件知f(2)=4a+2b+c≥2恒成立.∵x=2时,f(2)=4a+2b+c≤(2+2)2=2恒成立,∴f(2)=2.(2)解:∵∴4a+c=2b=1,∴b=,c=1-4a.又f(x)≥x恒成立,即ax2+(b-1)x+c≥0恒成立,∴a>0,Δ=-4a(1-4a)≤0,∴(8a-1)2≤0,解得a=,b=,c=,∴f(x)=x2+x+.-4-\n(3)解:g(x)=x2+x+>在x∈[0,+∞)上必须恒成立,即x2+4(1-m)x+2>0在x∈[0,+∞)上恒成立.①Δ<0,即[4(1-m)]2-8<0,解得1-<m<1+;②解得m≤1-.综上,m∈.12.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2000元.(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解:设该店月利润余额为L,则由题设得L=Q(P-14)×100-3600-2000,①由销量图易得Q=代入①式得L=(1)当14≤P≤20时,Lmax=450元,此时P=19.5元;当20<P≤26时,Lmax=元,此时P=元.故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元.(2)设可在n年后脱贫,依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥20.即最早可望在20年后脱贫.13.某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2000m2.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数y=f(x)的表达式;(总开发费用=总建筑费用+购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?解:(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为4000×2000=8000000(元)=800(万元),从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多100×2000=200000(元)=20(万元),-4-\n即写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,20为公差的等差数列,所以函数表达式为y=f(x)=800x+×20+9000=10x2+790x+9000(x∈N*).(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为g(x)=×10000==50≥50×(2+79)=6950(元),当且仅当x=,即x=30时等号成立.所以该写字楼建为30层时,每平方米平均开发费用最低.-4-

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发布时间:2022-08-26 00:21:01 页数:4
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文章作者:U-336598

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