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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第5讲 不等式及其应用

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第5讲 不等式及其应用1.不等式log2≤3的解集为____________.答案:{x|-3-2<x<-3+2,或x=1}解析:log2≤30<x++6≤8.当x>0时,0<x2+1+6x≤8x(x-1)2≤0x=1;当x<0时,8x≤x2+1+6x<0-3-2<x<-3+2.综上所述,不等式log2≤3的解集为{x|-3-2<x<-3+2,或x=1}.2.已知关于x的不等式ax+b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集是________.答案:(-1,2)解析:由已知得a<0,b=-a,>0即为>0,得<0,解得-1<x<2.3.设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,求+的最小值为____________.答案:解析:由图形可知,目标函数在(4,6)处取得最大值12,∴2a+3b=6,从而有+=(+)(2a+3b)==+=+≥+2=.4.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为________.答案:9解析:由题意,x=1是f′(x)=12x2-2ax-2b的一个零点,所以12-2a-2b=0,即a+b=6(a>0,b>0),因此ab≤==9,-4-\n当且仅当a=b=3时等号成立.5.若x>0,y>0且+=1,则x+y的最小值是________.答案:9解析:∵x>0,y>0,+=1,∴x+y=(x+y)(+)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取等号.6.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则实数m的取值范围是________.答案:m≤-5解析:由x2+mx+4<0,x∈(1,2)可得m<-,而函数y=-在(1,2)上单调增,∴m≤-5.7.已知变量x、y满足约束条件则的取值范围是________.答案:解析:变量x、y满足约束条件构成的区域是以(1,3),(1,6),三点为顶点的三角形区域(含边界),表示区域内的点与原点连线的斜率,∴∈.8.对于x∈,不等式+≥9恒成立,则正实数p的取值范围为__________.答案:p≥4解析:+=(sin2x+cos2x)=1+p++≥1+p+2=(+1)2,所以由不等式+≥9,得(+1)2≥9,∴p≥4.9.在如图所示的等腰锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为____________(m).答案:20解析:设矩形另一边长为y,则x+y=40,由40=x+y≥2,得xy≤400,当且仅当x=y=20时取等号.10.定义运算ab=,则关于非零实数x的不等式4≥8的解集为___________.答案:(-∞,0)∪∪[2,+∞)解析:4=x=当x≤-1时,-4-\n不等式为x+≥8x,所以x≤-1;当-1<x<0时,不等式为x+≥,所以-1<x<0;当0<x≤1时,不等式为4≥8x,所以0<x≤;当x>1时,不等式为4≥,所以x≥2.综上,不等式解集为(-∞,0)∪∪[2,+∞).11.某隧道长2150m,通过隧道的车速不能超过20m/s.一个由55辆车身长都为10m的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道.设车队的速度为xm/s,根据安全和车流的需要,相邻两车均保持m的距离,其中a为常数且≤a≤1,自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(s).(1)将y表示为x的函数;(2)求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度.解:(1)y==+9ax+18(0<x≤20,≤a≤1).(2)当≤a≤1时,y≥2+18=180+18.当且仅当=9ax,即x=时取等号.即当x=时,ymin=180+18;当≤a<时,y′=-+9a<0,故y=f(x)在(0,20]上是减函数,故当x=20时,ymin=+180a+18=153+180a.故当≤a<时,车队速度为20m/s时,通过隧道所用时间最少;当≤a≤1时,车队速度为m/s时,通过隧道所用时间最少.12.已知函数f(x)=为奇函数,f(1)<f(3),且不等式0≤f(x)≤的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}.(1)求a、b、c的值;(2)是否存在实数m使不等式f(-2+sinθ)<-m2+对一切θ∈R成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对定义域内的一切x都成立,即b=0.从而f(x)=.∵即∴f(2)=0,解之,得c=-4.再由f(1)<f(3),得或从而a>0.此时f(x)=在[2,4]上是增函数.注意到f(2)=0,则必有f(4)=,-4-\n∴=,即a=2.综上可知,a=2,b=0,c=-4.(2)由(1),得f(x)=,该函数在(-∞,0)以及(0,+∞)上均为增函数.∵-3≤-2+sinθ≤-1,∴f(-2+sinθ)的值域为.符合题设的实数m应满足-m2>,即m2<0,故符合题设的实数m不存在.13.因客流量临时增大,某鞋店拟用一个高为50cm(即EF=50cm)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜.根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距离x(cm)在区间[140,180]内.设支架FG高为h(0<h<90)cm,AG=100cm,顾客可视的镜像范围为CD(如图所示),记CD的长度为y(y=GD-GC).(1)当h=40cm时,试求y关于x的函数关系式和y的最大值;(2)当顾客的鞋A在镜中的像A1满足不等关系GC<GA1≤GD(不计鞋长)时,称顾客可在镜中看到自己的鞋.若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋,试求h的取值范围.解:(1)因为FG=40,AG=100,所以由=,即=,解得GC=.同理,由=,解得GD=,所以y=GD-GC=1000×=5000×,x∈[140,180].因为y′=5000×<0,所以y在[140,180]上单调递减,故当x=140cm时,y取得最大值为140cm.(2)由=,得GC=;由=,得GD=,所以由题意知GC<A1G=AG≤GD,即<100≤对x∈[140,180]恒成立.从而解得故h的取值范围是[40,70).-4-

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发布时间:2022-08-25 15:28:31 页数:4
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文章作者:U-336598

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