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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第9讲 平面向量及其应用
【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第9讲 平面向量及其应用
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第9讲 平面向量及其应用1.已知向量a=(3,4),b满足a·b=0且|b|=1,则b=________.答案:或2.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=____________.答案:解析:a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b,∴(a+c)·b=(3,3m)·(m+1,1)=6m+3=0,∴m=-.∴a=(1,-1),∴|a|=.3.已知向量a、b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.答案:解析:∵(a+2b)·(a-b)=-6,∴|a|2-2|b|2+a·b=-6,∴a·b=1,∴cos〈a,b〉==.4.在△ABC中,O为△ABC的重心,AB=2,AC=3,∠A=60°,则·=________.答案:4解析:设BC边中点为D,则=,=(+),∴·=(+)·=(3×2×cos60°+32)=4.5.若平面向量a、b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=________.答案:(-3,1)或(-1,1)解析:设a=(x,y),∴a+b=(x+2,y-1),∴∴或6.在△ABC中,若·=·=2,则边AB的长为________.答案:2解析:由·=2,·=2,得·(-)=2, 2=4,∴AB=2.7.已知a、b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是____________.答案:[-1,+1]解析:∵a·b=0,且a、b是单位向量,∴|a|=|b|=1.∵|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1,∴2c·(a+b)=c2+1.∵|a|=|b|=1且a·b=0,∴|a+b|=,∴c2+1=2|c|cosθ(θ是c与a+b的夹角).又-1≤cosθ≤1,∴0<c2+1≤2|c|,∴c2-2|c|+1≤0,∴-1≤|c|≤+1.8.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动.若=x+y,其中x、y∈R,则x+y的最大值是________.-8-\n答案:2解析:取O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A(1,0),B,设∠COA=θ,则θ∈,C(cosθ,sinθ),∴(cosθ,sinθ)=x(1,0)+y,则x+y=sinθ+cosθ=2sin,∴当θ=时取最大值2.9.如图所示,在平面四边形ABCD中,若AC=3,BD=2,则(+)·(+)=____________.答案:5解析:由于=+,=+,所以+=+++=-.(+)·(+)=(-)·(+)=||2-||2=9-4=5.10.在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),函数y=ex的图象与y轴的交点为B,P为函数y=ex图象上的任意一点,则·的最小值为____________.答案:1解析:P(x,ex),·=ex-x,对函数y=ex-x求导得函数在(-∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增,x=0时取最小值1.11.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)设向量x=(sinB,sinC),向量y=(cosB,cosC),向量z=(cosB,-cosC),若z∥(x+y),求tanB+tanC的值;(2)已知a2-c2=8b,且sinAcosC+3cosAsinC=0,求b.解:(1)由题意:x+y=(sinB+cosB,sinC+cosC),∵z∥(x+y),∴cosB(sinC+cosC)=-cosC(sinB+cosB),∴cosBsinC+cosCsinB=-2cosBcosC,∴=-2,即tanB+tanC=-2.(2)∵sinAcosC+3cosAsinC=0,∴sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC.∴sin(A+C)=-2cosAsinC,即sinB=-2cosAsinC.∴b=-2c·,∴-b2=b2+c2-a2,即a2-c2=2b2.又a2-c2=8b,∴2b2=8b,∴b=0(舍去)或4,故b=4.12.如图,在四边形ABCD中,AD=8,CD=6,AB=13,∠ADC=90°,且·=50.(1)求sin∠BAD的值;-8-\n(2)设△ABD的面积为S△ABD,△BCD的面积为S△BCD,求的值.解:(1)在Rt△ADC中,AD=8,CD=6,∠ADC=90°,则AC=10,cos∠CAD=,sin∠CAD=.∵·=50,AB=13,∴cos∠BAC==.∵0<∠BAC<π,∴sin∠BAC=.∴sin∠BAD=sin(∠BAC+∠CAD)=.(2)S△BAD=AB·AD·sin∠BAD=,S△BAC=AB·AC·sin∠BAC=60,S△ACD=24,则S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△BAD=,∴=.13.已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω、λ为常数,且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在区间上的取值范围.解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin+λ.由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin=±1,所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),即ω=+(k∈Z).又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=,所以f(x)的最小正周期是.(2)由(1)知f(x)=2sin+λ.由y=f(x)的图象过点,得f=0,即λ=-2sin=-2sin=-,即λ=-,故f(x)=2sin-.-8-\n由0≤x≤有-≤x-≤,所以-≤sin≤1,得-1-≤2sin-≤2-,故函数f(x)在上的取值范围为[-1-,2-].-8-\n滚动练习(二)1.已知集合A={x|x2+3x-4<0},B=,则A∩B=________.答案:(0,1)2.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是__________.答案:解析:当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-≥4,解得0>a≥-.综上,得-≤a≤0.3.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为__________.答案:π解析:∵tanα===-,且sin>0,cos<0,∴α在第四象限,由tanα=-,得α的最小正值为π.4.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则f=________.答案:5.函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值.答案:2解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),则函数的增区间是(-∞,0)∪(2,+∞),减区间是(0,2),所以函数在x=2处取极小值.6.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b与c共线,则k=________.答案:1解析:a-2b=(,3)与c共线,则·=3k,∴k=1.7.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为________.答案:6解析:A*B={0,2,4}.8.“m=-2”是函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件.答案:充要解析:f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称-=1m=-2.9.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则实数a的取值范围是________.答案:(-∞,2ln2-2]解析:f′(x)=ex-2.当x∈(-∞,ln2)时,f′(x)<0;当x∈(ln2,+∞)时,f′-8-\n(x)>0;x=ln2时,f(x)取极小值即为最小值2-2ln2+a≤0,a≤2ln2-2.本题也可转化为a=-ex+2x,求函数g(x)=-ex+2x的值域即可判断.10.已知函数f(x)=x2-cosx,对于上的任意x1、x2,有如下条件:①x1>x2;②x>x;③|x1|>x2;④x1>|x2|.其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件是________.(填序号)答案:②④解析:函数为偶函数,在上单调增,画图即可.11.在平面内,已知||=1,||=,·=0,∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R),则=____________.答案:±3解析:因为∠AOC=30°,所以〈,〉=30°.因为=m+n,·=0,所以||2=(m+n)2=m2||2+n2||2=m2+3n2,即||=.又·=·(m+n)=m 2=m,则·=||·||cos30°=m,即1××=m,平方得m2=9n2,即=9,所以=±3.12.设x、y是正实数,且x+y=1,则+的最小值是____________.答案:解析:设x+2=s,y+1=t,则s+t=4,所以+=+=+=(s+t)+-6=-2.因为+=(s+t)=≥,所以+≥.13.已知奇函数f(x)=(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.点拨:本题考查函数的概念和性质,在讨论分段函数的性质时要整体考虑.对二次函数要能用数形结合的思想来研究它的单调性与最值等问题.解:(1)函数f(x)为奇函数,f(-x)+f(x)=0对x∈R恒成立,m=2.(2)由f(x)=知f(x)在[-1,1]上单调递增,∴解得1<a≤3,即实数a的取值范围是(1,3].14.已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;-8-\n(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上的最小值.点拨:本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力.解:(1)f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx=sinωxcosωx+=sin2ωx+cos2ωx+=sin(2ωx+)+,由ω>0,得=π,∴ω=1.(2)由(1)知f(x)=sin+,∴g(x)=f(2x)=sin+,当0≤x≤时,≤4x+≤,∴≤sin≤1.∴1≤g(x)≤.故x=0时,g(x)在此区间内取最小值为1.15.已知在锐角△ABC中,两向量p=(2-2sinA,cosA+sinA),q=(sinA-cosA,1+sinA),且p与q是共线向量.(1)求A的大小;(2)求函数y=2sin2B+cos取最大值时,B的大小.解:(1)∵p∥q,∴(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA)=0,∴sin2A=,sinA=.∵△ABC为锐角三角形,∴A=60°.(2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos(2B-60°)=1-cos2B+cos(2B-60°)=1-cos2B+cos2Bcos60°+sin2Bsin60°=1-cos2B+sin2B=1+sin(2B-30°),当2B-30°=90°,即B=60°时,函数取最大值2.16.已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(1)求a=-时,讨论f(x)的单调性;(2)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.解:(1)当a=-时,f(x)=x3-3x2+3x+1.f′(x)=3x2-6x+3.令f′(x)=0,得x1=-1,x2=+1.当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,-1)上是增函数;-8-\n当x∈(-1,+1)时,f′(x)<0,f(x)在(-1,+1)上是减函数;当x∈(+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(+1,+∞)上是增函数.(2)由f(2)≥0得,a≥-.当a≥-,x∈(2,+∞)时,f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3(x2-x+1)=3(x-2)>0,所以f(x)在(2,+∞)上是增函数,于是当x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0.综上,a的取值范围是.-8-
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:20:59
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文章作者:U-336598
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