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【最高考】2022届高考数学二轮专题突破高效精练 第11讲 数列求和及其综合应用

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第11讲 数列求和及其综合应用1.数列1+(1+2)+(1+2+4)+…+(1+2+…+2n-1)的前n项和为________.答案:2n+1-n-2解析:1+(1+2)+(1+2+4)+…+(1+2+…+2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=2(2n-1)-n=2n+1-n-2.2.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=________.答案:2+lnn解析:累加可得.3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,________,________成等比数列.答案: 4.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为________.答案:解析:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=33+2[1+2+…+(n-1)]=n2-n+33,=n+-1,数列在1≤n≤6,n∈N*时单调减,在n≥7,n∈N*时单调增,∴n=6时,取最小值.5.数列{an}满足a1=2,an+1=,bn=,n∈N*,则数列{bn}的通项公式bn=________.答案:2n+1解析:由条件得bn+1=||=||=2||=2bn,且b1=4,所以数列{bn}是首项为4,公比为2的等比数列,则bn=4·2n-1=2n+1.6.设a1,a2,…,a50是从-1、0、1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+a3+…+a50=9,且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则a1,a2,…,a50中数字0的个数为________.答案:11解析:(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则(a+a+…+a)+2(a1+a2+…+a50)+50=107,∴a+a+…+a=39,故a1,a2,…,a50中数字0的个数为50-39=11.7.设Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1n,则S9+S12+S21=__________.答案:10解析:相邻两项合并得S9,S12,S21.8.设数列an=log(n+1)(n+2),n∈N*,定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的实数k为中国梦吉祥数,则在[1,2014]内的所有中国梦吉祥数之和为____________.答案:2026解析:a1·a2·a3·…·ak=log23·log34·…·log(k+1)(k+2)=log2(k+2),仅当k=2n-2时,上式为中国梦吉祥数.9.如图所示,矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上,另两个顶点Cn、Dn在函数f(x)=x+(x>0)的图象上,若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2,n∈N*),矩形AnBnCnDn的周长记为an,则a2-8-\n+a3+…+a10=____________.答案:216解析:由Bn的坐标为(n,0)(n≥2,n∈N*),得Cn的坐标为,故Dn的坐标为,故an=2+2=4n,故a2+a3+…+a10=4(2+3+…+10)=216.10.已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则m所有可能的取值为______________.答案:4,5,32解析:显然,an为正整数,a6=1,故a5=2,a4=4,若a3为奇数,则4=3a3+1,即a3=1;若a3为偶数,则a3=8.若a3=1,则a2=2,a1=4,若a3=8,则a2=16,a1=5或32.11.设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项的和,满足:a+a=a+a,S7=7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn;(2)设数列{bn}满足bn=2an,其前n项的和为Tn,当n为何值时,有Tn>512.解:(1)由{an}是公差不为0的等差数列,可设an=a1+(n-1)d,则由得整理,得由d≠0,解得所以an=a1+(n-1)d=2n-7,Sn=na1+d=n2-6n.(2)由(1)得an=2n-7,所以bn=2an=22n-7,又==4(n≥2),b1=2a1=,所以{bn}是首项为,公比为4的等比数列,所以它的前n项和Tn==(4n-1),于是由Tn>512,得4n>3×47+1,所以n≥8时,有Tn>512.12.数列{an}满足an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),a3=27.(1)求a1,a2的值;(2)是否存在一个实数t,使得bn=(an+t)(n∈N*),且数列{bn}为等差数列?若存在,-8-\n求出实数t;若不存在,请说明理由;(3)求数列{an}的前n项和Sn.解:(1)由a3=27,得27=2a2+23+1,∴a2=9.∵9=2a1+22+1,∴a1=2.(2)假设存在实数t,使得{bn}为等差数列,则2bn=bn-1+bn+1(n≥2且n∈N*).∴2×(an+t)=(an-1+t)+(an+1+t),∴4an=4an-1+an+1+t,∴4an=4×+2an+2n+1+1+t,∴t=1.即存在实数t=1,使得{bn}为等差数列.(3)由(1),(2)得b1=,b2=,∴bn=n+,∴an=·2n-1=(2n+1)2n-1-1,Sn=(3×20-1)+(5×21-1)+(7×22-1)+…+[(2n+1)×2n-1-1]=3+5×2+7×22+…+(2n+1)×2n-1-n,①∴2Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n-2n,②由①-②得-Sn=3+2×2+2×22+2×23+…+2×2n-1-(2n+1)×2n+n=1+2×-(2n+1)×2n+n=(1-2n)×2n+n-1,∴Sn=(2n-1)×2n-n+1.13.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,Sn为其前n项和,且满足a=S2n-1,令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn;(2)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,请说明理由.解:(1)n=1时,由a=S1=a1,且a1≠0,得a1=1.因为{an}是等差数列,所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)d,Sn=na1+d=n+d.于是由a=S2n-1,得[1+(n-1)d]2=2n-1+(2n-1)(n-1)d,即d2n2+(2d-2d2)n+d2-2d+1=2dn2+(2-3d)n+d-1,所以解得d=2.所以an=2n-1,从而bn===所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+==.(2)(解法1)T1=,Tm=,Tn=,若T1,Tm,Tn成等比数列,则=-8-\n,即=.由=,得=>0,即-2m2+4m+1>0,所以1-<m<1+.又m∈N*,且m>1,所以m=2,此时n=12.因此,当且仅当m=2,n=12时,数列{Tn}中的T1,Tm,Tn成等比数列.(解法2)因为=<,故<,即2m2-4m-1<0,所以1-<m<1+(以下同上).-8-\n滚动练习(三)1.设集合U=Z,A={x|x2-x-2≥0,x∈Z},则∁UA=________.(用列举法表示)答案:{0,1}2.设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别是a、b、c,且=,那么∠A=________.答案:解析:由正弦定理=,得sinA=cosA,∴tanA=1,∵0<A<π,∴∠A=.3.已知在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=60,则2a9-a10=________.答案:12解析:由a1+3a8+a15=60,得5a1+35d=60,即a8=12,则2a9-a10=a8=12.4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是2π,则ω=________.答案:解析:由题知周期是4π,∴ω==.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2+x(x≥0),若f(4-a2)>f(3a),则实数a的取值范围是____________.答案:(-4,1)6.已知变量x、y满足条件则z=x+y的最大值是________.答案:6解析:本题考查线性规划知识.7.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____________.答案:218.若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),若m⊥n,则∠C=________.答案:解析:∵m⊥n,∴(a+c)(a-c)+b(b-a)=0,∴=,∴cosC=,∴∠C=.9.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a、b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.答案:-1010.已知函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不是单调函数,则t的取值范围是__________.答案:(0,1)∪(2,3)-8-\n11.已知函数f(x)=lnx-(m∈R)在区间[1,e]上取得最大值4,则m=____________.答案:-3e解析:f′(x)=+,m≥-1时,f(x)在[1,e]上单调减,f(1)=4,无解;-e<m<-1,f(x)在[1,-m]上增,在[-m,e]上减,则f(-m)=4,无解;m≤-e时,f(x)在[1,e]上单调增,f(e)=4,m=-3e.12.数列{an}满足a1>1,an+1-1=an(an-1)(n∈N+),且++…+=2,则a2013-4a1的最小值为____________.答案:-解析:由题知,an>1,==-,所以=-,++…+=-=2,a2013=1+,a2013>1得>a1>1,a2013-4a1=-+≥-+2=-.当且仅当a1=∈时取等号.13.设函数f(x)=sinxcosx-cos(x+π)cosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=f(x)的图象向右平移个单位后再向上平移个单位得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在上的最大值.解:(1)f(x)=sin2x+cos2x=sin2x+(1+cos2x)=sin+,∴f(x)的最小正周期为T==π.(2)依题意得g(x)=f+=sin[2(x-)+]++=sin+,当x∈时,2x-∈,∴-≤sin≤,∴≤g(x)≤,∴g(x)在上的最大值为.14.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1、a2,并写出an+1与an的关系式;(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解:(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,-8-\na2=a1(1+50%)-d=a1-d,an+1=an(1+50%)-d=an-d.(2)由(1)得an=an-1-d=an-2-d-d=-d=…=a1-d.整理得an=(3000-d)-2d=(3000-3d)+2d.由题意,am=4000,即(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.15.已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.(1)求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程;(2)证明函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方;(3)讨论函数y=f(x)零点的个数.(1)解:f′(x)=-a,f(1)=-a+1,kl=f′(1)=1-a,所以切线l的方程为y-f(1)=kl(x-1),即y=(1-a)x.(2)证明:令F(x)=f(x)-(1-a)x=lnx-x+1,x>0,则F′(x)=-1=(1-x),解F′(x)=0得x=1.x(0,1)1(1,+∞)F′(x)+0-F(x)最大值因为F(1)=0,所以x>0且x≠1,F(x)<0,f(x)<(1-a)x,即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方.(3)解:令f(x)=lnx-ax+1=0,a=.令g(x)=,g′(x)=′==-,则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1时,g(x)的最大值为g(1)=1.所以若a>1,则f(x)无零点;若f(x)有零点,则a≤1.若a=1,f(x)=lnx-ax+1=0,由(1)知f(x)有且仅有一个零点x=1.若a≤0,f(x)=lnx-ax+1单调递增,由幂函数与对数函数单调性比较,-8-\n知f(x)有且仅有一个零点(或:直线y=ax-1与曲线y=lnx有一个交点).若0<a<1,解f′(x)=-a=0得x=,由函数的单调性得知f(x)在x=处取最大值,f=ln>0,由幂函数与对数函数单调性比较知,当x充分大时f(x)<0,即f(x)在单调递减区间有且仅有一个零点;又f=-<0,所以f(x)在单调递增区间上有且仅有一个零点.综上所述,当a>1时,f(x)无零点;当a=1或a≤0时,f(x)有且仅有一个零点;当0<a<1时,f(x)有两个零点.16.设数列{an}的前n项积为Tn,已知对n,m∈N*,当n>m时,总有=Tn-m·q(n-m)m(q>0是常数).(1)求证:数列{an}是等比数列;(2)设正整数k,m,n(k<m<n)成等差数列,试比较Tn·Tk和(Tm)2的大小,并说明理由.(1)证明:设m=1,则有=Tn-1·qn-1,因为Ti≠0(i∈N*),所以有=a1·qn-1,即an=a1·qn-1,所以当n≥2时=q,所以数列{an}是等比数列.(2)解:当q=1时,an=a1(n∈N*),所以Tn=a,所以Tn·Tk=a·a=a=a=T.当q≠1时,an=a1·qn-1,Tn=a1·a2…an=a·q1+2+…+(n-1)=a·q,所以Tn·Tk=a·q·a·q=a·q,T=a·qm(m-1),因为n+k=2m且k<m<n,所以a=a,=-m>-m=m2-m,所以若q>1,则Tm·Tk>T;若0<q<1,则Tm·Tk<T.-8-

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发布时间:2022-08-26 00:21:08 页数:8
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文章作者:U-336598

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