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2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题含解析202303112185
2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题含解析202303112185
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第3讲 圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一,主要以解答题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一;2.以椭圆或抛物线为背景,尤其是与条件或结论相关存在性开放问题,对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求,并突出数学思想方法的考查.真题感悟1.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.32解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=×a×|DE|=×a×2b=ab=8,则c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=2时等号成立,∴c≥4.故曲线C的焦距2c的最小值为8.答案 B2.(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B分别为椭圆E:+y2=1(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,·=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.(1)解 由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则=(a,1),=(a,-1).由·=8,得a2-1=8,解得a=3或a=-3(舍去).\n所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)证明 设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3<n<3.易知直线PA的方程为y=(x+3),所以y1=(x1+3).易知直线PB的方程为y=(x-3),所以y2=(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).①由于+y=1,故y=-,②由①②可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),结合x=my+n,得(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.③将x=my+n代入+y2=1,得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-,y1y2=.代入③式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0,解得n=-3(舍去)或n=.故直线CD的方程为x=my+,即直线CD过定点.若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点.综上,直线CD过定点.3.(2020·新高考山东卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).(1)求C的方程;\n(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.(1)解 由题设得+=1,=,解得a2=6,b2=3.所以C的方程为+=1.(2)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2).若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入+=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-,x1x2=.①由AM⊥AN,得·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.将①代入上式,可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0,整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,所以2k+3m+1=0,k≠1.所以直线MN的方程为y=k-(k≠1).所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由·=0,得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又+=1,所以3x-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),或x1=.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点,即Q.\n若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=|AP|=.若D与P重合,则|DQ|=|AP|.综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.考点整合1.圆锥曲线常考查的几何量(1)直线方程:会用点斜式或斜截式设直线方程;(2)线段长、面积:三角形、四边形的面积中蕴含着线段长、点到直线的距离公式;(3)斜率公式、共线点的坐标关系:由两点坐标会表示出对应的直线斜率,共线点的横坐标或纵坐标也满足比例关系;(4)平面图形的几何性质:平行四边形、菱形等图形中的几何性质,如垂直、平行、平分、中点关系;(5)向量关系的转化:会把向量关系转化为对应点,如坐标关系.2.圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的值域、最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的,在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.3.圆锥曲线中的定点、定值问题(1)定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).(2)定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.4.圆锥曲线中的存在性问题的解题步骤:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在.(3)下结论.\n热点一 圆锥曲线中的最值、范围问题角度1 求线段长度、三角形面积的最值【例1】已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线.(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.①证明:△PQG是直角三角形;②求△PQG面积的最大值.(1)解 由题设得·=-,化简得+=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右顶点.(2)①证明 设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).由得x=±.设u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,故xG=,由此得yG=.从而直线PG的斜率为=-.\n所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.②解 由①得|PQ|=2u,|PG|=,所以△PQG的面积S=|PQ||PG|==.设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.因此,△PQG面积的最大值为.探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,列出含参数的函数式;可利用求函数值域(最值)或基本不等式、换元法、导数法,利用已知或隐含的参数范围求最值、范围.特别是分式形式时,会用换元法将复杂化为简单.角度2 求几何量、某个参数的取值范围【例2】(2020·江西六校联考)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,中心在原点.若右焦点到直线x-y+2=0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.解 (1)依题意可设椭圆方程为+y2=1(a>1),则右焦点F(,0),由题设=3,解得a2=3.∴所求椭圆的方程为+y2=1.(2)设P(xP,yP),M(xM,yM),N(xN,yN),P为弦MN的中点,\n由得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,∵直线与椭圆相交,∴Δ=(6mk)2-4(3k2+1)×3(m2-1)>0⇒m2<3k2+1.①∴xP==-,从而yP=kxP+m=,∴kAP==-,又∵|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,则-=-,即2m=3k2+1.②把②代入①,得m2<2m,解得0<m<2;由②得k2=>0,解得m>.综上,求得m的取值范围是.探究提高 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围;(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.【训练1】(2020·贵阳诊断)在直角坐标系xOy中,曲线C1上的任意一点M到直线y=-1的距离比M点到点F(0,2)的距离小1.(1)求动点M的轨迹C1的方程;(2)若点P是圆C2:(x-2)2+(y+2)2=1上一动点,过点P作曲线C1的两条切线,切点分别为A,B,求直线AB斜率的取值范围.解 (1)法一 设点M(x,y),∵点M到直线y=-1的距离等于|y+1|,∴|y+1|=-1,化简得x2=8y,∴动点M的轨迹C1的方程为x2=8y.法二 由题意知M到直线y=-2的距离等于M到F(0,2)的距离,由抛物线定义得动点M\n的轨迹方程为x2=8y.(2)由题意可知,PA,PB的斜率都存在,分别设为k1,k2,切点A(x1,y1),B(x2,y2),设点P(m,n),过点P的抛物线的切线方程为y=k(x-m)+n,联立得x2-8kx+8km-8n=0,∵Δ=64k2-32km+32n=0,即2k2-km+n=0,∴k1+k2=,k1k2=.由x2=8y,得y′=,∴x1=4k1,y1==2k,x2=4k2,y2==2k,∴kAB====,∵点P(m,n)满足(x-2)2+(y+2)2=1,∴1≤m≤3,∴≤≤,即直线AB斜率的取值范围为.热点二 圆锥曲线中定值、定点问题角度1 圆锥曲线中的定值【例3】(2020·广州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.(1)解 因为抛物线y2=2px过点P(1,2),所以2p=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).由得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<1,又因为k≠0,故k<0或0<k<1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2).从而k≠-3.\n所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-,x1x2=.直线PA的方程为y-2=(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为yM=+2=+2.同理得点N的纵坐标为yN=+2.由=λ,=μ得λ=1-yM,μ=1-yN.所以+=+=+=·=·=2.所以+=2为定值.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】(2020·长沙模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且圆x2+y2=2过椭圆C的上、下顶点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l的斜率为,且直线l交椭圆C于P,Q两点,点P关于原点的对称点为E,A(-2,1)是椭圆C上的一点,判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.解 (1)由圆x2+y2=2过椭圆C的上、下顶点,可得b=.又离心率e=,所以=,解得a=2.\n所以椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l的斜率为,可设直线l的方程为y=x+t(t≠0).由消去y并整理得x2+2tx+2t2-4=0.由题意知Δ=4t2-4(2t2-4)>0,解得-2<t<2且t≠0.设点P(x1,y1),Q(x2,y2),由点P与点E关于原点对称,得E(-x1,-y1).易知x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.设直线AE与AQ的斜率分别为kAE,kAQ,由A(-2,1),得kAE+kAQ=+=.又y1=x1+t,y2=x2+t,于是有(2-x1)(y2-1)-(2+x2)(y1+1)=2(y2-y1)-(x1y2+x2y1)+(x1-x2)-4=(x2-x1)-+(x1-x2)-4=-x1x2-t(x1+x2)-4=-(2t2-4)-t(-2t)-4=0.因此kAE+kAQ=0.于是直线AE与AQ的斜率之和为定值,此定值为0.角度2 圆锥曲线中的定点问题【例4】(2020·成都二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.\n(1)解 由于点P3,P4关于y轴对称,由题设知C必过P3,P4.又由+>+知,椭圆C不经过点P1,所以点P2在椭圆C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果直线l的斜率不存在,此时l垂直于x轴.设l:x=m,A(m,yA),B(m,-yA),k1+k2=+==-1,得m=2,此时l过椭圆C右顶点,与椭圆C不存在两个交点,故不满足.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.则k1+k2=+=+=.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.∴(2k+1)·+(m-1)·=0.解得m=-2k-1,此时Δ=32(m+1),∴当且仅当m>-1时,Δ>0,∴直线l的方程为y=kx-2k-1,即y+1=k(x-2).所以l过定点(2,-1).探究提高 1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.\n【训练3】(2020·太原模拟)已知圆O1:(x+1)2+y2=8上有一动点Q,点O2的坐标为(1,0),四边形QO1O2R为平行四边形.线段O1R的垂直平分线交O2R于点P.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)过点O2作直线与曲线C交于A,B两点,点K的坐标为(2,1),直线KA,KB与y轴分别交于M,N两点,求证:线段MN的中点为定点,并求出该中点的坐标.(1)解 因为|PO1|+|PO2|=|PR|+|PO2|=|RO2|=|QO1|=2>|O1O2|=2,所以点P的轨迹是一个椭圆,且长轴长2a=2,半焦距c=1,所以b2=a2-c2=1,轨迹C的方程为+y2=1(y≠0).(2)证明 当直线AB的斜率为0时,由(1)y≠0知与曲线C无交点.当直线AB的斜率不为0时,设过点O2的直线方程为x=my+1,点A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).直线方程与椭圆方程联立得消去x,得(m2+2)y2+2my-1=0,则y1+y2=,y1y2=.直线KA的方程为y-1=(x-2),令x=0得yM=.同理可得yN=.所以====-1.所以MN的中点为(0,-1),恒为定点.热点三 圆锥曲线中的存在性问题\n【例5】设椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为A(-1,0),B(1,0),C为椭圆M上的点,且∠ACB=,S△ABC=.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E,F两点,探究在x轴上是否存在定点D,使得·为定值?若存在,试求出定值和点D的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cosC=(CA+CB)2-3CA·CB=4.又S△ABC=CA·CB·sinC=CA·CB=,∴CA·CB=,代入上式得CA+CB=2.椭圆长轴长为2a=2,焦距为2c=AB=2,b2=a2-c2=1.所以椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)设直线方程y=k(x-1),E(x1,y1),F(x2,y2),联立消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,Δ=8k2+8>0,∴x1+x2=,x1x2=.假设x轴上存在定点D(x0,0),使得·为定值.∴·=(x1-x0,y1)·(x2-x0,y2)=x1x2-x0(x1+x2)+x+y1y2=x1x2-x0(x1+x2)+x+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+x+k2=.要使·为定值,则·的值与k无关,∴2x-4x0+1=2(x-2),解得x0=,此时·=-为定值,定点为.探究提高 \n1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,不成立则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.2.求解步骤:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在,否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】(2020·西安调研)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线经过点P(-1,0).(1)求抛物线C的方程.(2)设O是原点,直线l恒过定点(1,0),且与抛物线C交于A,B两点,直线x=1与直线OA,OB分别交于点M,N,请问:是否存在以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点?若存在,求出两个定点的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意知,-=-1,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)存在,理由如下.设直线AB的方程为x=ty+1,A,B.联立直线AB与抛物线C的方程得消去x并整理,得y2-4ty-4=0.易知Δ=16t2+16>0,则由直线OA的方程y=x,可得M,由直线OB的方程y=x,可得N.设以MN为直径的圆上任一点D(x,y),则·=0,所以以MN为直径的圆的方程为(x-1)2+=0.令y=0,得(x-1)2+=0.将y1y2=-4代入上式,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3.故存在以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点,两个定点的坐标分别为(-1,0)和(3,0).A级 巩固提升一、选择题\n1.椭圆C:+=1的焦点在x轴上,点A,B是长轴的两端点,若曲线C上存在点M满足∠AMB=120°,则实数m的取值范围是( )A.(3,+∞)B.[1,3)C.(0,)D.(0,1]解析 依题意,当0<m<3时,焦点在x轴上,要在曲线C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°,即≥,解得0<m≤1.答案 D2.若点P为抛物线y=2x2上的动点,F为抛物线的焦点,则|PF|的最小值为( )A.2B.C.D.解析 根据题意,设抛物线y=2x2上点P到准线的距离为d,则有|PF|=d,抛物线的方程为y=2x2,即x2=y,其准线方程为y=-,∴当点P在抛物线的顶点时,d有最小值,即|PF|min=.答案 D3.(2020·济南模拟)已知椭圆C:x2+=1,直线l:y=x+m,若椭圆C上存在两点关于直线l对称,则m的取值范围是( )A.B.C.D.解析 设椭圆C上存在关于直线y=x+m对称的两点为M(x1,y1),N(x2,y2),则线段MN被直线y=x+m垂直平分.设MN的中点T(x0,y0)在直线y=x+m上,kMN=-1,故设直线MN的方程为y=-x+n.联立整理,得3x2-2nx+n2-2=0,∴x1+x2=,y1+y2=2n-(x1+x2)=2n-=,∴x0==,y0==.由Δ=4n2-12(n2-2)>0,可得-<n<.\n∵MN的中点T(x0,y0)在直线y=x+m上,∴=+m,∴m=,∴-<m<.答案 B4.(多选题)(2020·东营质检)设椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是( )A.|PF1|+|PF2|=2B.离心率e=C.△PF1F2面积的最大值为D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切解析 对于A,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2,故A正确;对于B,由椭圆方程知a=,b=1,c=1,所以离心率e===,故B错误;对于C,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为·2c·b=c·b=1,故C错误;对于D,以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-=0的距离为=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-=0相切,故D正确.故选AD.答案 AD5.(多选题)(2020·海南新高考诊断)已知P是椭圆C:+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=上的动点,则( )A.椭圆C的焦距为B.椭圆C的离心率为C.圆D在椭圆C的内部D.|PQ|的最小值为解析 依题意可得c==,则椭圆C的焦距为2,离心率为=.设P(x,y)(-≤x≤).由圆心D的坐标为(-1,0),得|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-=+≥>,所以圆D在椭圆C的内部,且|PQ|的最小值为-=.故选BC.\n答案 BC二、填空题6.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=________时,点B横坐标的绝对值最大.解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得即x1=-2x2,y1=3-2y2.因为点A,B在椭圆上,所以得y2=m+,所以x=m-(3-2y2)2=-m2+m-=-(m-5)2+4≤4,所以当m=5时,点B的横坐标的绝对值最大,最大值为2.答案 57.(2020·郑州模拟)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线上任一点,且·的最小值为-7,则该双曲线的离心率是________.解析 设点F1(-c,0),F2(c,0)(其中c>0),P(x0,y0).则-=1,所以x=9.∵=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),∴·=x-c2+y=9+y-c2=y+9-c2≥9-c2,当且仅当y0=0时,上式“=”成立.∴9-c2=-7,∴c=4.从而双曲线的离心率e==.答案 8.设抛物线x2=4y的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点,满足|AF|=2;已知P为抛物线准线上任一点,则|PA|+|PF|的最小值为________,此时△PAF的外接圆半径为________.解析 由x2=4y,知p=2,∴焦点F(0,1),准线y=-1.依题意,设A(x0,y0)(x0>0),由定义,得|AF|=y0+,则y0=2-1=1,∴AF⊥y轴.易知当\nP(1,-1)时,|PA|+|PF|最小,∴|PF|==,则|PA|+|PF|=2,由正弦定理,2R===,因此△PAF的外接圆半径R=.答案 2 三、解答题9.(2020·广州调研)已知点P到直线y=-3的距离比点P到点A(0,1)的距离多2.(1)求点P的轨迹方程;(2)经过点Q(0,2)的动直线l与点P的轨迹交于M,N两点,是否存在定点R使得∠MRQ=∠NRQ?若存在,求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.解 (1)由题知,|PA|等于点P到直线y=-1的距离,故P点的轨迹是以A为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以其方程为x2=4y.(2)根据图形的对称性知,若存在满足条件的定点R,则点R必在y轴上,可设其坐标为(0,r),此时由∠MRQ=∠NRQ可得kMR+kNR=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=0,由题知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,与x2=4y联立得x2-4kx-8=0,则x1+x2=4k,x1x2=-8,+=+=2k+=2k-=0,故r=-2,即存在满足条件的定点R(0,-2).10.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+y2=1,点P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆C上两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,若m=,n=,m·n=0.(1)求证:k1·k2=-;(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值,并说明理由.(1)证明 ∵k1,k2均存在,∴x1x2≠0,\n又m·n=0,∴+y1y2=0,即=-y1y2,∴k1·k2==-.(2)解 当直线PQ的斜率不存在,即x1=x2,y1=-y2时,由=-,得-y=0,又∵点P(x1,y1)在椭圆上,得+y=1,∴|x1|=,|y1|=.∴S△POQ=|x1|·|y1-y2|=1.当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+b(b≠0).由得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,Δ=64k2b2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(4k2+1-b2)>0,∴x1+x2=,x1x2=.∵+y1y2=0,∴+(kx1+b)(kx2+b)=0,得2b2-4k2=1,满足Δ>0.∴S△POQ=·|PQ|=|b|=2|b|·=1.综上可知,△POQ的面积S为定值.B级 能力突破11.(2019·北京卷)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程.(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(1)解 由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1)得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.\n(2)证明 抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).由得x2+4kx-4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.直线OM的方程为y=x.令y=-1,得点A的横坐标xA=-,同理得B的横坐标xB=-.设点D(0,n),则=,=,·=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2.令·=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).12.(2020·成都一诊)已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线l:x=2与x轴相交于点H,过点A作AD⊥l,垂足为D.(1)求四边形OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围.(2)证明:直线BD过定点E,并求出点E的坐标.(1)解 由题设知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1(m∈R),A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x并整理,得(m2+2)y2+2my-1=0.Δ=4m2+4(m2+2)>0,则y1+y2=-,y1y2=-,\n所以|y1-y2|==.所以四边形OAHB的面积S=×|OH|×|y1-y2|=×2×=.令=t,则t≥1,所以S==,t≥1.因为t+≥2(当且仅当t=1,即m=0时取等号),所以0<S≤.故四边形OAHB的面积的取值范围为(0,].(2)证明 由B(x2,y2),D(2,y1),可知直线BD的斜率k=.所以直线BD的方程为y-y1=(x-2).令y=0,得x==.①由(1)知,y1+y2=-,y1y2=-,所以y1+y2=2my1y2.②将②代入①,化简得x===,所以直线BD过定点E.
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