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2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析202303112168
2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析202303112168
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专题六函数与导数第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质,能用函数的图象与性质解决简单问题;3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真题感悟1.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )A.是偶函数,且在单调递增B.是奇函数,且在单调递减C.是偶函数,且在单调递增D.是奇函数,且在单调递减解析 f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|的定义域为.∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)为奇函数,故排除A,C.又当x∈时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln=ln,∵y=1+在上单调递减,由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减.故选D.答案 D2.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为( )\n解析 显然f(-x)=-f(x),x∈[-π,π],所以f(x)为奇函数,排除A;又当x=π时,f(π)=>0,排除B,C,只有D适合.答案 D3.(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)=0.又f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≤0,得-1≤x≤0.当x>0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≥0,得1≤x≤3.故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.答案 D4.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax,若f(ln2)=8,则a=________.解析 依题意得,当x>0时,f(x)=-f(-x)=-(-e-ax)=e-ax,所以f(ln2)=e-aln2=(eln2)-a=2-a=8.解得a=-3.\n答案 -3考点整合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.2.函数的性质(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性:①若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x).②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性:①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数.②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数.③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数.④若f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误:函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“∪”连接,可用“和”或“,”连接.热点一 函数及其表示【例1】(1)(2020·合肥质检)函数f(x)=+ln(3x-1)的定义域为( )A.B.\nC.D.(2)(2020·西安模拟)已知函数f(x)=若f(-1)=3,则不等式f(x)≤5的解集为( )A.[-2,1]B.[-3,3]C.[-2,2]D.[-2,3]解析 (1)要使函数f(x)=+ln(3x-1)有意义,则解得<x≤.∴f(x)的定义域为.(2)∵f(x)=f(-1)=3,∴f(-1)=a-1+1=3,则a=,故f(x)=由f(x)≤5,∴当x>0时,2x-1≤5,解得0<x≤3,当x≤0时,+1≤5,-2≤x≤0.综上,不等式f(x)≤5的解集为[-2,3].答案 (1)B (2)D探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数:根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.2.对于分段函数求值或解不等式问题,一定要根据变量的取值条件进行分段讨论.【训练1】(1)(2020·成都诊断)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-0.5]=-1,[1.5]=1.已知函数f(x)=×4x-3×2x+4(0<x<2),则函数y=[f(x)]的值域为( )A.B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}\n(2)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)解析 (1)令t=2x,t∈(1,4),则f(t)=t2-3t+4,t∈(1,4).由二次函数性质,-≤f(t)<,因此[f(t)]∈{-1,0,1}.则函数y=[f(x)]的值域为{-1,0,1}.(2)当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,要使f(x+1)<f(2x),则需或所以x<0.答案 (1)B (2)D热点二 函数的图象及应用【例2】(1)(2020·浙江卷)函数y=xcosx+sinx在区间[-π,π]上的图象可能是( )(2)设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.[1,4]C.[4,+∞)D.(-∞,1]∪[4,+∞)解析 (1)因为f(x)=xcosx+sinx,则f(-x)=-xcosx-sinx=-f(x),又x∈[-π,π],所以f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称,则C,D错误.且x=π时,y=πcosπ+sin\nπ=-π<0,知B错误,只有A满足.(2)作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知,要使f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2.因此a≥4或a≤1.答案 (1)A (2)D探究提高 1.函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.2.(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y=在[-6,6]的图象大致为( )(2)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析 (1)因为y=f(x)=,x∈[-6,6],所以f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项C.当x=4时,y==∈(7,8),排除A,D项,B正确.(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)=2x,g(x)=x+1的图象如图.由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2).\n又f(x)>0等价于2x>x+1,结合图象,可得x<0或x>1.故f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.答案 (1)B (2)D热点三 函数的性质及应用角度1 函数的周期性、奇偶性【例3】(1)(2020·淄博二模)偶函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,当-1≤x≤0时,f(x)=-x2+1,则f(2020)=( )A.2B.0C.-1D.1(2)(多选题)(2020·淄博质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,则下列说法正确的是( )A.f(7)=0B.f(x)的一个周期为8C.f(x)图象的一个对称中心为(3,0)D.f(x)图象的一条对称轴为直线x=2019解析 (1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)的图象关于直线x=0对称,又f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴f(x)的周期T=4|1-0|=4.∴f(2020)=f(2020-4×505)=f(0),又当-1≤x≤0时,f(x)=-x2+1.故f(2020)=f(0)=1.(2)依题意知,直线x=1是f(x)图象的一条对称轴,(-1,0)是f(x)图象的一个对称中心,又因为f(x+1)是偶函数,f(x-1)是奇函数,所以f(x+1)=f(-x+1),f(x-1)=-f(-x-1),所以f(x)=f(-x+2),f(x)=-f(-x-2),所以f(-x+2)=-f(-x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),∴f(x)=-f(x-4)=-[-f(x-8)]=f(x-8),所以f(x)是周期函数,且8为函数f(x)的一个周期,故B正确;f(7)=f(-1)=0,故A正确;因为f(x\n)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心,所以点(3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,故C正确;x=2019=8×252+3,所以直线x=2019不是函数f(x)图象的对称轴,故D错误,故选ABC.答案 (1)D (2)ABC角度2 函数的单调性与最值【例4】(1)(2020·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)-f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=-2-x,设a=f(-31.2),b=f(3-0.2),c=f(log30.2),则( )A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b(2)(2020·东北三省三校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)在(-∞,0]上单调递减,若不等式f(ax+2)≤f(-1)对于任意x∈[1,2]恒成立,则a的最大值为________.解析 (1)由f(-x)-f(x)=0及函数f(x)的定义域为R,知f(x)是偶函数,易知f(x)=-2-x在[0,+∞)上单调递增.因为a=f(-31.2)=f(31.2),c=f(log30.2)=f=f(-log35)=f(log35),且31.2>3,1=log33<log35<log327=3,0<3-0.2<1,即31.2>log35>3-0.2>0,所以f(31.2)>f(log35)>f(3-0.2),即a>c>b.(2)由于f(x)满足f(x)=f(-x),且函数f(x)的定义域为R,可知f(x)的图象关于y轴对称,∵f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.根据f(x)的图象特征可得-1≤ax+2≤1在[1,2]上恒成立,得-≤a≤-在[1,2]上恒成立.所以-≤a≤-1,故a的最大值为-1.答案 (1)D (2)-1探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】(1)(2020·贵阳调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当-1≤x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)=( )\nA.B.C.-D.-(2)(多选题)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),下列命题正确的是( )A.f(2019)+f(-2020)=0B.函数f(x)在定义域上是周期为2的函数C.直线y=x与函数f(x)的图象有2个交点D.函数f(x)的值域为(-1,1)解析 (1)依题意,知f(2+x)=f(-x)=-f(x),则f(4+x)=f(x),所以f(x)是周期函数,且周期为4.又2<log25<3,则-1<2-log25<0,所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25-2)=-f(2-log25)=-(22-log25-1)=-=.(2)根据题意,当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),又由f(x)为奇函数,则f(x)的部分图象如图.对于A,当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x).当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),则f(0)=log21=0,f(1)=-f(0)=0,又f(2019)=f(1)=0,f(2020)=f(0)=0,f(x)为奇函数,所以f(-2020)=-f(2020)=0,故f(2019)+f(-2020)=0,故A正确;对于B,由于f=f=-f=-log2,f=-f=-log2,∴f≠f,即周期不是2,B错误;对于C,如图,直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点,其坐标为(0,0),C错误;对于D,函数f(x)的值域为(-1,1),D正确.故选AD.答案 (1)B (2)ADA级 巩固提升一、选择题\n1.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1解析 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=e-x-1,又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=1-e-x.答案 D2.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )A.-50B.0C.2D.50解析 法一 ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),∴f(4+x)=f(x),∴f(x)是周期函数,且一个周期为4,又f(0)=0,知f(2)=f(0),f(4)=f(0)=0,由f(1)=2,知f(-1)=-2,则f(3)=f(-1)=-2,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选C.法二 由题意可设f(x)=2sin,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.答案 C3.(2020·江南十校模拟)函数f(x)=在上的图象大致为( )\n解析 根据题意,有f(-x)=-=-f(x),且定义域关于原点对称,则在上f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B;又在区间上,x>0,cosx>0,2x>0,2-x>0,则f(x)>0,排除D,只有C适合.答案 C4.(多选题)函数f(x)=则关于函数f(x)的说法正确的是( )A.定义域为RB.值域为(-3,+∞)C.在R上为增函数D.只有一个零点解析 f(x)=∴f(x)的定义域为R,值域为(-3,e-3)∪[0,+∞),且e-3<0,∴f(x)在R上为增函数,且f(1)=0,∴f(x)只有一个零点.故ACD正确,B不正确.答案 ACD5.(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )A.f>f(2-)>f(2-)B.f>f(2-)>f(2-)C.f(2-)>f(2-)>fD.f(2-)>f(2-)>f解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以f=f(-log34)=f(log34).\n又因为log34>1>2->2->0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(log34)<f(2-)<f(2-).答案 C6.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)+,且f=0,当x>时,f(x)>0,则以下结论正确的是( )A.f(0)=-,f(-1)=-B.f(x)为R上的减函数C.f(x)+为奇函数D.f(x)+1为偶函数解析 由已知,令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+,∴f(0)=-,令x=,y=-,得f=f+f+,∴f=-1,再令x=y=-,得f=f+f+,∴f(-1)=-,A正确;取y=-1,得f(x-1)=f(x)+f(-1)+,∴f(x-1)-f(x)=-1<0,即f(x-1)<f(x),∵x-1<x,∴f(x)不是R上的减函数,B错误;令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)+,∴+=0,故C正确;令g(x)=f(x)+,由C可知g(x)为奇函数,∴g(-x)+=-g(x)+,即+=-+,∴f(-x)+1=-f(x),故D错误.答案 AC二、填空题7.(2020·郑州模拟)已知f(x)=ex+eax是偶函数,则f(x)的最小值为________.解析 ∵f(x)=ex+eax是偶函数,∴f(1)=f(-1),得e+ea=e-1+e-a,则a=-1.所以f(x)=ex+e-x≥2=2.当且仅当x=0时取等号.故函数f(x)的最小值为2.答案 2\n8.(2020·合肥模拟)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集为________.解析 ∵xf(x)<0,∴x和f(x)异号,由于f(x)为奇函数,补齐函数的图象如图.当x∈(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)时,f(x)<0,∴不等式xf(x)<0的解集为(-2,-1)∪(1,2).答案 (-2,-1)∪(1,2)9.已知函数f(x)=,g(x)=-ex-1-lnx+a对任意的x1∈[1,3],x2∈[1,3]恒有f(x1)≥g(x2)成立,则a的取值范围是________.解析 f(x)==(x+1)+-3.易知x∈[1,3]时,f′(x)=1->0,∴f(x)在[1,3]上是增函数,f(x)min=f(1)=-.又g(x)在[1,3]上是减函数,知g(x)max=g(1)=a-1.若恒有f(x1)≥g(x2)成立,则-≥a-1,∴a≤.答案 三、解答题10.已知函数f(x)=a-.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,解不等式f(ax)<f(2).\n解 (1)f(0)=a-=a-1.(2)f(x)在R上单调递增,证明如下:∵f(x)的定义域为R,∴任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a--a+=,∵y=2x在R上单调递增且x1<x2,∴0<2x1<2x2,∴2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-=-a+,解得a=1(经检验符合题意).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2),又∵f(x)在R上单调递增,∴x<2.∴不等式的解集为(-∞,2).B级 能力突破11.(2020·福州模拟)已知函数f(x+1)是定义在R上的偶函数,∀x1,x2∈[1,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)·[f(x2)-f(x1)]<0,则不等式f(-2x+1+1)<f(5)的解集为________.解析 因为函数f(x+1)是定义在R上的偶函数,所以f(x+1)的图象关于y轴对称.因为f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x+1)的图象,所以f(x)的图象关于直线x=1对称.因为∀x1,x2∈[1,+∞),且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]<0,所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,由此可得函数f(x)在(-∞,1)上单调递减.因为f(-2x+1+1)<f(5),且f(5)=f(-3),-2x+1+1<1,所以-2x+1+1>-3,即2x+1<4,解得x<1,\n所以所求不等式的解集为(-∞,1).答案 (-∞,1)12.已知函数f(x)=x2-2lnx,h(x)=x2-x+a.(1)求函数f(x)的极值;(2)设函数k(x)=f(x)-h(x),若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=2x-=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在x=1处取得极小值为1,无极大值.(2)k(x)=f(x)-h(x)=x-2lnx-a(x>0),所以k′(x)=1-,令k′(x)>0,得x>2,所以k(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,所以当x=2时,函数k(x)取得最小值k(2)=2-2ln2-a.因为函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,即有k(x)在[1,2)和(2,3]内各有一个零点,所以即有解得2-2ln2<a≤3-2ln3.所以实数a的取值范围为(2-2ln2,3-2ln3].
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全国通用2022高考数学二轮复习专题一第1讲函数图象与性质及函数与方程
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 22:20:55
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