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2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第4讲导数的综合应用含解析202303112171
2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第4讲导数的综合应用含解析202303112171
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第4讲 导数的综合应用高考定位 在高考压轴题中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.真题感悟1.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=x3+bx+c,曲线y=f(x)在点处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.(1)解 f′(x)=3x2+b.依题意得f′=0,即+b=0,故b=-.(2)证明 由(1)知f(x)=x3-x+c,f′(x)=3x2-.令f′(x)=0,解得x=-或x=.f′(x)与f(x)的情况为:x-f′(x)+0-0+f(x)c+c-因为f(1)=f=c+,所以当c<-时,f(x)只有大于1的零点.因为f(-1)=f=c-,所以当c>时,f(x)只有小于-1的零点.由题设可知-≤c≤.当c=-时,f(x)只有两个零点-和1.当c=时,f(x)只有两个零点-1和.\n当-<c<时,f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1∈,x2∈,x3∈.综上,若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.2.(2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.(1)证明 设g(x)=f′(x),则g(x)=cosx+xsinx-1,g′(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx.当x∈时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0,所以g(x)在上单调递增,在上单调递减.又g(0)=0,g>0,g(π)=-2,故g(x)在(0,π)存在唯一零点.所以f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点.(2)解 由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0.由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当x∈(x0,π)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减.又f(0)=0,f(π)=0,所以当x∈[0,π]时,f(x)≥0.又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax.因此,a的取值范围是(-∞,0].考点整合1.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下,由于当x→∞时,函数值也趋向∞,只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1,x2且x1<x2的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的零点分布情况如下:\na的符号零点个数充要条件a>0(f(x1)为极大值,f(x2)为极小值)一个f(x1)<0或f(x2)>0两个f(x1)=0或f(x2)=0三个f(x1)>0且f(x2)<0a<0(f(x1)为极小值,f(x2)为极大值)一个f(x1)>0或f(x2)<0两个f(x1)=0或f(x2)=0三个f(x1)<0且f(x2)>03.利用导数解决不等式问题(1)利用导数证明不等式.若证明f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果能证明F(x)在(a,b)上的最大值小于0,即可证明f(x)<g(x),x∈(a,b).(2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题.①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈I).②∃x∈I,使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈I).③对∀x1,x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.④对∀x1∈I,∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.4.(1)判断含x,lnx,ex的混合式的函数值的符号时,需利用x0=elnx0及ex≥x+1,lnx≤x-1对函数式放缩,有时可放缩为一个常量,变形为关于x的一次式或二次式,再判断符号.(2)会对复杂函数式或导数式(如含x,lnx,ex的混合式)变形,如拆分为两个函数处理,好处是避免由于式子的复杂导致的思路无法开展.热点一 利用导数研究函数的零点【例1】(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,x∈R,则f′(x)=ex-1.当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)f′(x)=ex-a.\n①当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.故f(x)至多存在一个零点,不合题意.②当a>0时,由f′(x)=0,可得x=lna.当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a(1+lna).(ⅰ)若0<a≤,则f(lna)≥0,f(x)在(-∞,+∞)至多存在一个零点,不合题意.(ⅱ)若a>,则f(lna)<0.由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞,lna)存在唯一零点.由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0.所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e·e-a(x+2)>eln(2a)·-a(x+2)=2a>0.故f(x)在(lna,+∞)存在唯一零点.从而f(x)在(-∞,+∞)有两个零点.综上,a的取值范围是.探究提高 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.第一步:将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题;第二步:利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质;第三步:结合图象求解.2.已知零点求参数的取值范围:(1)结合图象与单调性,分析函数的极值点,(2)依据零点确定极值的范围,(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.【训练1】设函数f(x)=lnx-a(x-1)ex,其中a∈R.(1)若a≤0,讨论f(x)的单调性;(2)若0<a<,试证明f(x)恰有两个零点.(1)解 由已知,f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=-[aex+a(x-1)ex]=.因此当a≤0时,1-ax2ex>0,从而f′(x)>0,\n所以f(x)在(0,+∞)内单调递增.(2)证明 由(1)知,f′(x)=.令g(x)=1-ax2ex,由0<a<,可知g(x)在(0,+∞)内单调递减.又g(1)=1-ae>0,且g=1-a·=1-<0,故g(x)=0在(0,+∞)内有唯一解,从而f′(x)=0在(0,+∞)内有唯一解,不妨设为x0,则1<x0<ln.当x∈(0,x0)时,f′(x)=>=0,所以f(x)在(0,x0)内单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)=<=0,所以f(x)在(x0,+∞)内单调递减,因此x0是f(x)的唯一极值点.令h(x)=lnx-x+1,则当x>1时,h′(x)=-1<0,故h(x)在(1,+∞)内单调递减,从而当x>1时,h(x)<h(1)=0,所以lnx<x-1,从而f=ln-aeln=ln-ln+1=h<0.又因为f(x0)>f(1)=0,所以f(x)在(x0,+∞)内有唯一零点.又f(x)在(0,x0)内有唯一零点1,从而,f(x)在(0,+∞)内恰有两个零点.热点二 利用导数证明不等式\n【例2】(2020·衡水中学检测)已知函数f(x)=ln.(1)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2;(2)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.(1)证明 令g(x)=f(x)-2,则g′(x)=f′(x)-2(1+x2)=.因为g′(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时,f(x)>2.(2)解 由(1)知,当k≤2时,f(x)>k对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)-k,则h′(x)=f′(x)-k(1+x2)=.所以当0<x<时,h′(x)<0,因此h(x)在区间上单调递减.当0<x<时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<k.所以当k>2时,f(x)>k并非对x∈(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.探究提高 形如f(x)>g(x)的不等式的证明:(1)首先构造函数h(x)=f(x)-g(x),借助导数求h(x)min,证明h(x)min>0.(2)如果不等式既有指数又有对数,求导不易求最值,可合理分拆和变形,构造两个函数,分别计算它们的最值,利用隔离分析最值法证明.【训练2】(2020·岳阳二模)已知函数f(x)=x-lnx-.(1)求证:f(x)≤1-e;(2)若f(x)+ex-bx≥1恒成立,求实数b的取值范围.(1)证明 f(x)=x-lnx-,定义域为(0,+∞),\n则f′(x)=1--=,由ex≥x+1>x,知0<x<1时,f′(x)>0;x>1时,f′(x)<0,得f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=1-e.从而f(x)≤1-e.(2)解 f(x)+ex-bx≥1,即-lnx+x-+xex+-bx≥1,恒有≥b,即≥b.令φ(x)=,则φ′(x)=,令h(x)=x2ex+lnx,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x→0时,h(x)→-∞,h(1)=e>0,所以h(x)在(0,1)上存在唯一零点x0,且h(x0)=xex0+lnx0=0,所以x0ex0=-=(eln).令m(x)=xex,上式即m(x0)=m.由于m(x)=xex在(0,+∞)上单调递增,故x0=ln=-lnx0,即ex0=,从而φ′(x0)=0且0<x<x0时,h(x)<0,φ′(x)<0;x>x0时,h(x)>0,φ′(x)>0,所以φ(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,φ(x)min=φ(x0)===2,所以b≤2.即实数b的取值范围为(-∞,2].热点三 导数与不等式恒成立、存在性问题角度1 含参不等式的恒成立问题【例3】已知函数f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.解 设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.(ⅰ)若1≤k<e2,则-2<x1≤0.\n从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增.故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.(ⅱ)若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即F(x)≤kg(x)恒成立.(ⅲ)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].探究提高 1.此类问题要根据导数式的特点对参数进行讨论,在每个范围内由单调性得到最值,利用最值来判断是否满足题意,说明不满足题意时,只需举一反例即可.2.x,ex,lnx组合型函数问题,解题思路有两个关键方向:一是要充分考虑指数式与对数式的运算性质的应用,如=eln是N=alogaN(a>0,a≠1)的应用,x0=ln化为ex0=是指数式与对数式互化的应用;二是要考虑能否运用不等式放缩转化目标,如利用ex≥x+1,从而快速解不等式,得到函数的单调区间.【训练3】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).解 (1)f′(x)=2ax-=(x>0).当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f′(x)=0,有x=.此时,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;\n当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=-,s(x)=ex-1-x.则s′(x)=ex-1-1.而当x>1时,s′(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.由(1)有f<f(1)=0,而g>0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a≥时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h′(x)=2ax-+-e1-x>x-+-=>>0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a∈.角度2 不等式存在性问题【例4】设函数f(x)=alnx+x2-x(a≠1).若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.解 f(x)的定义域为(0,+∞),因为f(x)=alnx+x2-x,f′(x)=+(1-a)x-1=(x-1).①若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<成立的充要条件为\nf(1)<,即-1<,解得--1<a<-1.②若<a<1,则>1,故当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以,存在x0≥1,使得f(x0)<成立的充要条件为f<.而f=aln++>,所以不合题意.③若a>1,f(x)在[1,+∞)上递减,则f(1)=-1=<.综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).探究提高 “恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到,注意端点的取舍.【训练4】已知函数f(x)=x-mlnx-(m∈R),g(x)=x2+ex-xex.(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当m≤2时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)≤g(x2)成立,求实数m的取值范围.解 (1)f(x)=x-mlnx-,且定义域(0,+∞),∴f′(x)=1-+=,当m≤2时,若x∈[1,e],则f′(x)≥0,∴f(x)在[1,e]上是增函数,则f(x)min=f(1)=2-m.当m≥e+1时,若x∈[1,e],则f′(x)≤0,∴f(x)在[1,e]上是减函数,\n则f(x)min=f(e)=e-m-.当2<m<e+1时,若x∈[1,m-1],则f′(x)≤0;若x∈[m-1,e],则f′(x)≥0.f(x)min=f(m-1)=m-2-mln(m-1).(2)已知等价于f(x1)min≤g(x2)min.由(1)知m≤2时,在x∈[e,e2]上有f′(x)≥0,∴f(x1)min=f(e)=e-m-.又g′(x)=x+ex-(x+1)ex=x(1-ex),当x2∈[-2,0]时,g′(x2)≤0,g(x2)min=g(0)=1.所以m≤2且e-m-≤1,解得≤m≤2.所以实数m的取值范围是.A级 巩固提升一、选择题1.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,0)B.(-∞,4]C.(0,+∞)D.[4,+∞)解析 条件可转化为a≤2lnx+x+(x>0)恒成立,设f(x)=2lnx+x+,则f′(x)=(x>0).当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=4.所以a≤4.答案 B2.已知函数f(x)=x2-3x+5,g(x)=ax-lnx,若对∀x∈(0,e),∃x1,x2∈(0,e)且x1≠x2,使得f(x)=g(xi)(i=1,2),则实数a的取值范围是( )\nA.B.C.D.∪解析 当x∈(0,e)时,函数f(x)的值域为.由g′(x)=a-=可知:当a≤0时,g′(x)<0,与题意不符,故a>0.令g′(x)=0,得x=,则∈(0,e),所以g(x)min=g=1+lna.作出函数g(x)在(0,e)上的大致图象,如图所示,数形结合,知解之得≤a<e.答案 C3.(2020·石家庄调研)已知函数f(x)=(k-1)xex,若对任意x∈R,都有f(x)<1成立,则实数k的取值范围是( )A.(-∞,1-e)B.(1-e,+∞)C.(-e,0]D.(1-e,1]解析 由f(x)<1,得(k-1)x<=,所以曲线y=恒在直线y=(k-1)x的上方.过原点作曲线y=的切线,设切点为P(x0,y0),则-=,即-=,得x0=-1.∴y=的切线的斜率k0=-e-x|x=-1=-e,则-e<k-1≤0,解得1-e<k≤1.答案 D\n4.(多选题)关于函数f(x)=+lnx,下列判断正确的是( )A.x=2是f(x)的极大值点B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立D.对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-+=,当0<x<2时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,2)上单调递减,当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,∴x=2是f(x)的极小值点,故A错误;y=f(x)-x=+lnx-x,∴y′=-+-1=<0,函数y=f(x)-x在(0,+∞)上单调递减,且f(1)-1=2+ln1-1=1>0,f(2)-2=1+ln2-2=ln2-1<0,∴函数y=f(x)-x有且只有1个零点,故B正确;若f(x)>kx(x>0),则k<+,令g(x)=+,则g′(x)=,令h(x)=-4+x-xlnx,则h′(x)=-lnx,当h′(x)>0时,0<x<1,当h′(x)<0时,x>1,∴函数h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴h(x)≤h(1)<0,∴g′(x)<0,∴函数g(x)=+在(0,+∞)上单调递减,且当x→+∞时,g(x)→0,∴不存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立,故C错误;令t∈(0,2),则2-t∈(0,2),2+t∈(2,4),令u(t)=f(2+t)-f(2-t)=+ln(2+t)--ln(2-t)=+ln,则u′(t)=+·=+=<0,∴u(t)在(0,2)上单调递减,则u(t)<u(0)=0,令x1=2-t,由f(x1)=f(x2),得x2>2+t,则x1+x2>2-t+2+t=4,当x2≥4时,x1+x2>4显然成立,∴对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4,故D正确.故选BD.答案 BD二、填空题5.函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R,都有f′(x)>-f(x)成立,若f(ln2)=,则满足不等式f(x)>的x的取值范围是________.解析 由题意,对任意x∈R,都有f′(x)>-f(x)成立,即f′(x)+f(x)>0.令g(x)=exf(x),则g′(x)=\nf′(x)ex+f(x)ex=ex[f′(x)+f(x)]>0,所以函数g(x)在R上单调递增.不等式f(x)>等价于exf(x)>1,即g(x)>1.因为f(ln2)=,所以g(ln2)=eln2f(ln2)=2×=1.故当x>ln2时,g(x)>g(ln2)=1,所以不等式g(x)>1的解集为(ln2,+∞).答案 (ln2,+∞)6.若对于任意正实数x,都有lnx-aex-b+1≤0(e为自然对数的底数)成立,则a+b的最小值是________.解析 因为对于任意正实数x都有lnx-aex-b+1≤0成立,不妨将x=代入不等式中,得a+b≥0.下面证明a+b=0时满足题意,当a=1,b=-1时,令f(x)=lnx-ex+1+1=lnx-ex+2,则f′(x)=-e=.由f′(x)=0,得x=,所以函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f=0,即f(x)≤0对任意正实数x都成立,所以当a=1,b=-1,即a+b=0时满足题意,所以a+b的最小值为0.答案 0三、解答题7.已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.(1)证明 当a=1时,f(x)=ex-x2,则f′(x)=ex-2x.令g(x)=f′(x),则g′(x)=ex-2.令g′(x)=0,解得x=ln2.当x∈(0,ln2)时,g′(x)<0;当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)>0.∴当x≥0时,g(x)≥g(ln2)=2-2ln2>0,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=1.(2)解 若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,即方程ex-ax2=0在(0,+∞)上只有一个解,由a=,令φ(x)=,x∈(0,+∞),φ′(x)=,令φ′(x)=0,解得x=2.当x∈(0,2)时,φ′(x)<0;\n当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0.∴φ(x)min=φ(2)=.∴a=.8.已知函数f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)为f(x)的导数.证明:(1)f′(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.证明 (1)设g(x)=f′(x),则g(x)=cosx-,g′(x)=-sinx+.当x∈时,g′(x)单调递减,而g′(0)>0,g′<0,可得g′(x)在有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g′(x)>0;当x∈时,g′(x)<0.所以g(x)在(-1,α)单调递增,在单调递减,故g(x)在存在唯一极大值点,即f′(x)在存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).①当x∈(-1,0]时,由(1)知,f′(x)在(-1,0)单调递增,而f′(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,故f(x)在(-1,0)单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零点.②当x∈时,由(1)知,f′(x)在(0,α)单调递增,在单调递减,而f′(0)=0,f′<0,所以存在β∈,使得f′(β)=0,且当x∈(0,β)时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在(0,β)单调递增,在单调递减.又f(0)=0,f=1-ln>0,所以当x∈时,f(x)>0.从而,f(x)在上没有零点.③当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在单调递减.又f>0,f(π)<0,所以f(x)在有唯一零点.④当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1.所以f(x)<0,从而f(x)在(π,+∞)没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.\nB级 能力突破9.(2019·天津卷改编)设函数f(x)=excosx,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈时,证明f(x)+g(x)≥0.(1)解 由已知,有f′(x)=ex(cosx-sinx).因此,当x∈(k∈Z)时,有sinx>cosx,得f′(x)<0,则f(x)单调递减;当x∈(k∈Z)时,有sinx<cosx,得f′(x)>0,则f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(2)证明 记h(x)=f(x)+g(x).依题意及(1),有g(x)=ex(cosx-sinx),从而g′(x)=-2exsinx.当x∈时,g′(x)<0,故h′(x)=f′(x)+g′(x)+g(x)(-1)=g′(x)<0.因此,h(x)在区间上单调递减,进而h(x)≥h=f=0.所以当x∈时,f(x)+g(x)≥0.10.(2020·长沙模拟)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值;(2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>+,求k的取值范围.\n解 (1)f′(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1),故即解得a=1,b=1.(2)由(1)知f(x)=+,所以f(x)-=.考虑函数h(x)=2lnx+(x>0),则h′(x)=.(ⅰ)设k≤0,由h′(x)=知,当x≠1时,h′(x)<0,h(x)递减.而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0.可得h(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得h(x)>0.从而当x>0,且x≠1时,f(x)->0,即f(x)>+.(ⅱ)设0<k<1,由于(k-1)(x2+1)+2x=(k-1)x2+2x+k-1的图象开口向下,且Δ=4-4(k-1)2>0,对称轴x=>1.当x∈时,(k-1)(x2+1)+2x>0.故h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈时,h(x)>0,可得h(x)<0.与题设矛盾.(ⅲ)设k≥1,此时x2+1≥2x,(k-1)(x2+1)+2x>0⇒h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾.综上,得k的取值范围为(-∞,0].
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高考 - 二轮专题
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