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2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程与性质含解析202303112184
2023高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程与性质含解析202303112184
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第2讲 圆锥曲线的方程与性质高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )A.2B.3C.6D.9解析 设A(x,y),由抛物线的定义知,点A到准线的距离为12,即x+=12.又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,所以9+=12,解得p=6.故选C.答案 C2.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )A.B.C.(1,0)D.(2,0)解析 将x=2与抛物线方程y2=2px联立,可得y=±2,不妨设D(2,2),E(2,-2),由OD⊥OE,可得·=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.其焦点坐标为.故选B.答案 B3.(2020·全国Ⅰ卷)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为( )A.B.3C.D.2解析 法一 由题知a=1,b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),\n如图,因为|OF1|=|OF2|=|OP|=2,所以点P在以F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4,所以|PF1||PF2|=6,所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=3.故选B.法二 由双曲线的方程可知,双曲线的焦点F1,F2在x轴上,且|F1F2|=2=4.设点P的坐标为(x0,y0),则解得|y0|=.所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|=×4×=3.故选B.答案 B4.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.解 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c.由|CD|=|AB|得4c=,即3×=2-2.解得=-2(舍去)或=.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:+=1.\n设M(x0,y0),则+=1,y=4cx0,故+=1.①因为C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,又|MF|=5,故x0=5-c,代入①得+=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为+=1,C2的标准方程为y2=12x.考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|);(3)抛物线:|MF|=d(d为M点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时,易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆:+=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在y轴上);(2)双曲线:-=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上);(3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系①在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为e==.②在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为e==.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0).②双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c).\n(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,准线方程x=-.②抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,准线方程y=-.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=|x1-x2|==.(2)过抛物线焦点的弦抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(2020·浙江卷)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3图象上的点,则|OP|=( )A.B.C.D.(2)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1解析 (1)由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,得点P的轨迹是双曲线的右支.又a=1,c=2,知b2=c2-a2=3.故点P的轨迹方程为x2-=1(x≥1)①,由于y=3②,联立①②,得x2=,y2=,故|OP|==.(2)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.\n由椭圆定义,4m=2a,得m=,故|F2A|=|F1A|=a,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图,不妨设A(0,-b),依题意,=2,得B.由点B在椭圆上,得+=1,得a2=3,b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为+=1.答案 (1)D (2)B探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程,另外注意焦点在不同的坐标轴上,椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型,所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )A.-=1B.x2-=1C.-y2=1D.x2-y2=1(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,6)是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线x=交于A,B两点(A在B的上方),若sin∠MFA=,则此抛物线的方程为________.解析 (1)由y2=4x,知焦点坐标为(1,0),则过点(1,0)和点(0,b)的直线方程为x+=1.易知-=1的渐近线方程为+=0和-=0.由l与一条渐近线平行,与一条渐近线垂直,得a=1,b=1.故双曲线C的方程为x2-y2=1.(2)如图所示,过M点作CM⊥AF,垂足为C,交准线于D,\n∴sin∠MFA==.由抛物线定义|MF|=|MD|=x0+,∴==,得x0=3p.∵点M(x0,6)是抛物线上一点,∴(6)2=2px0,36×6=6p2,∴p=6,∴y2=12x.答案 (1)D (2)y2=12x热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为________.(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为________.解析 (1)设B(c,yB),因为B为双曲线C:-=1上的点,所以-=1,所以y=,则yB=.因为AB的斜率为3,所以=3,则b2=3ac-3a2.所以c2-a2=3ac-3a2,所以c2-3ac+2a2=0,解得c=a(舍去)或c=2a.所以C的离心率e==2.\n(2)因为·=0,所以F1B⊥F2B,如图.所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为=,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BF1O==,tan∠BOF2=.因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),所以=,所以b2=3a2,所以c2-a2=3a2,即2a=c.所以双曲线的离心率e==2.答案 (1)2 (2)2探究提高 1.第(1)题的易错点有两处:一是忽视题眼“AB的斜率为3”,由y=得yB=±;二是将双曲线中a,b,c的关系式与椭圆中a,b,c的关系式搞混.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的等量关系或不等关系,然后用a,c代换b,进而求的值.3.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值,也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.【训练2】(1)(多选题)(2020·青岛统测)已知椭圆Ω:+=1(a>b>0),则下列结论正确的是( )\nA.若a=2b,则椭圆Ω的离心率为B.若椭圆Ω的离心率为,则=C.若点F1,F2分别为椭圆Ω的左、右焦点,直线l过点F1且与椭圆Ω交于A,B两点,则△ABF2的周长为4aD.若点A1,A2分别为椭圆Ω的左、右顶点,点P为椭圆Ω上异于点A1,A2的任意一点,则直线PA1,PA2的斜率之积为-(2)(多选题)(2020·德州质检)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )A.双曲线C的离心率为B.双曲线-=1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF,则△PFO的面积为D.|PF|的最小值为2解析 (1)若a=2b,则c=b,所以e=,A不正确;若e=,则a=2c,b=c,所以=,B正确;根据椭圆的定义易知C正确;设点P(x0,y0),则+=1,易知A1(-a,0),A2(a,0),所以直线PA1,PA2的斜率之积是·===-,D正确.故选BCD.(2)对于A,因为a=2,b=,所以c==,所以双曲线C的离心率为,所以A正确;对于B,它们的渐近线都是直线y=±x,所以B正确;对于C,结合PO⊥PF,点P在双曲线C的一条渐近线上,不妨设点P在渐近线y=x上,则直线PF的方程为y-0=-(x-),即y=-(x-),由解得所以点P,所以△PFO的面积S=××=,所以C正确;对于D,因为点F(,0),双曲线C的一条渐近线为直线y=x,所以|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离,为,所以D错误.故选ABC.\n答案 (1)BCD (2)ABC热点三 有关弦的中点、弦长问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.解 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+.又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,其中Δ=144(1-2t)>0,即t<,则x1+x2=-.从而-=,得t=-(满足Δ>0).所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.①由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2.②由①②联立,得y1=3,且y2=-1.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|==.探究提高 1.涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB|=|x2-x1|,设而不求计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解,以简化运算,当A,B两点坐标易求时也可以直接用|AB|=求解.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.\n【训练3】(2020·衡水质检)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线l交椭圆C于A,B两点.(1)若△F1AB的面积为,求直线l的方程;(2)若=2,求|AB|.解 (1)当直线l斜率为0时,不满足题意.当直线l斜率不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l的方程为x=my+1,代入椭圆C的方程消去x,得(5m2+6)y2+10my-25=0,Δ>0⇒m∈R,由根与系数的关系得y1+y2=,①y1y2=,②则S△F1AB=|F1F2|·|y1-y2|=×2==.整理得50m4-m2-49=0,解得m2=1或m2=-(舍去),故直线l的方程为x±y-1=0.(2)若=2,则(1-x2,-y2)=2(x1-1,y1),所以y2=-2y1.代入上式①②得y1=,2y=,消去y1,得2=,解得m=±,所以|AB|=|y1-y2|=|y1-y2|=3|y1|=3×=.热点四 与直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合问题【例4】(2020·北京卷)已知椭圆C:+=1过点A(-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C的方程;\n(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求的值.解 (1)由椭圆过点A(-2,-1),得+=1.又a=2b,∴+=1,解得b2=2,∴a2=4b2=8,∴椭圆C的方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,显然不合题意.设直线l:y=k(x+4),由得(4k2+1)x2+32k2x+64k2-8=0.由Δ>0,得-<k<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.又∵直线AM:y+1=(x+2),令x=-4,得yP=-1.将y1=k(x1+4)代入,得yP=.同理yQ=.∴yP+yQ=-(2k+1)=-(2k+1)·=-(2k+1)·=-(2k+1)·=0.∴|PB|=|BQ|,∴=1.探究提高 1.求解此类问题往往要设出直线方程,将直线方程与椭圆方程联立,利用根与系数的关系求解.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可直接求解相应方程组得到交点坐标,也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.\n【训练4】(2020·天津卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C满足3=,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点,求直线AB的方程.解 (1)由已知得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|,得c=b=3.由a2=b2+c2,得a2=18.所以椭圆的方程为+=1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥CP.依题意,直线AB和直线CP的斜率均存在,设直线AB的方程为y=kx-3.联立消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x=.依题意,可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为.由3=,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率kCP==.又因为AB⊥CP,所以k·=-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k=或k=1.\n所以,直线AB的方程为y=x-3或y=x-3.即直线AB的方程为x-2y-6=0或x-y-3=0.A级 巩固提升一、选择题1.(2020·北京卷)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线( )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP解析 如图所示,连接PF,则|PF|=|PQ|,∴QF的垂直平分线过点P.故选B.答案 B2.(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列结论正确的是( )A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±xD.若m=0,n>0,则C是两条直线解析 对于A,当m>n>0时,有>>0,方程化为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,由m=n>0,方程变形为x2+y2=,该方程表示半径为的圆,B错误;对于C,由mn<0知曲线表示双曲线,其渐近线方程为y=±x,C正确;对于D,当m=0,n>0时,方程变为ny2=1表示两条直线,D正确.答案 ACD\n3.(多选题)(2020·青岛一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=8,则以下结论正确的是( )A.p=4B.=C.|BD|=2|BF|D.|BF|=4解析 如图,分别过点A,B作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为点E,M,连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF|=p,由直线l的斜率为,可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴,∴∠EAF=60°.由抛物线的定义可知,|AE|=|AF|,则△AEF为等边三角形,∴∠PEF=30°,∴|AF|=|EF|=2|PF|=2p=8,得p=4,A正确.∵|AE|=2|PF|,PF∥AE,∴F为AD的中点,则=,B正确.又∠DAE=60°,∴∠ADE=30°,∴|BD|=2|BM|=2|BF|,C正确.由C选项知|BF|=|DF|=|AF|=,D错误.故选ABC.答案 ABC4.(2020·东北三省三校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且有·=0,若点P到x轴的距离为|F1F2|,则双曲线的离心率为( )A.B.C.2D.解析 因为·=0,所以PF1⊥PF2,则∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=±2a,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2.因此2(c2-a2)=|PF1|·|PF2|,①\n在Rt△PF1F2中,|PF1|·|PF2|=|F1F2|·|F1F2|=c2.代入①式,得2(c2-a2)=c2,则c2=2a2,故双曲线的离心率e===.答案 A5.(2020·成都诊断)已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左右焦点,若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率的取值范围为( )A.B.C.D.解析 依题设x0≥0时,当点P在椭圆的上(下)顶点时,∠PF1F2最大.若在椭圆C上存在P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=30°,则90°>(∠PF1F2)max≥30°,∴tan(∠PF1F2)max≥tan30°=,则≥,即b≥c.又a2=b2+c2,得3a2≥4c2,所以e==≤=.故椭圆离心率的取值范围为.答案 B二、填空题6.(2020·北京卷)已知双曲线C:-=1,则C的右焦点的坐标为__________;C的焦点到其渐近线的距离是__________.解析 由-=1,得c2=a2+b2=9,解得c=3,又焦点在x轴上,所以双曲线C的右焦点坐标为(3,0).双曲线的一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以焦点(3,0)到渐近线的距离为d==.\n答案 (3,0) 7.(2020·全国Ⅲ卷改编)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=________.解析 法一 设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则S△PF1F2=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,从而c2=a2+4,又e==,从而a=1.法二 由题意得,S△PF1F2==4,得b2=4,又e2==5,c2=a2+b2,所以a=1.答案 18.设F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.解析 不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,则|MF1|>|MF2|,|F1F2|=2c=2=8,因为△MF1F2是等腰三角形,|MF1|>|MF2|,且|MF1|+|MF2|=2a=12,所以|MF1|>6,|MF2|<6,所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上,即在圆(x+4)2+y2=64上.因为点M在椭圆+=1上,所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限,所以点M的坐标为(3,).答案 (3,)三、解答题9.(2020·湖北重点中学联考)定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,那么称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2与C1是“相似椭圆”,且椭圆C2的短半轴长为b.(1)写出椭圆C2的方程;\n(2)若在椭圆C2上存在两点M,N关于直线y=x+1对称,求实数b的取值范围.解 (1)依题意,设椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”,可得=,即a2=4b2.所以椭圆C2的方程为+=1(b>0).(2)设直线MN的方程为y=-x+t,M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为(x0,y0),由消去y并整理得5x2-8tx+4(t2-b2)=0,易知Δ=64t2-80(t2-b2)=16(5b2-t2)>0,①则x0==,y0=.由题意知线段MN的中点在直线y=x+1上,所以=+1,解得t=-,则直线MN的方程为y=-x-,将t=-代入①式,解得b>.所以实数b的取值范围是.10.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.(1)证明 设D,A(x1,y1),则x=2y1.因为y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.\n所以直线AB过定点.(2)解 由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=|x1-x2|=×=2(t2+1).设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=,d2=.因此,四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).设M为线段AB的中点,则M.因为⊥,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0,解得t=0或t=±1.当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4.因此,四边形ADBE的面积为3或4.B级 能力突破11.(2019·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )A.B.C.2D.解析 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F的坐标为(c,0).由圆的对称性及条件|PQ|=|OF|可知,PQ是以OF为直径的圆的直径,且PQ⊥OF.设垂足为M,连接OP,如图,则|OP|=a,|OM|=|MP|=.在Rt△OPM中,|OM|2+|MP|2=|OP|2得+=a2,故=,即e=.\n答案 A12.(2020·郑州调研)设中心在原点,焦点在x轴上的椭圆E过点,且离心率为,F为E的右焦点,P为E上一点,PF⊥x轴,圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程;(2)若直线l:y=k(x-)(k>0)与圆F交于A,B两点,与椭圆E交于C,D两点,其中A,C在第一象限,是否存在k使|AC|=|BD|?若存在,求l的方程;若不存在,说明理由.解 (1)由题意可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),∵椭圆的离心率e=,∴=,∵a2=b2+c2,∴a=2b,将点代入椭圆的方程得+=1,联立a=2b,解得a=2且b=1.∴椭圆E的方程为+y2=1.∴F(,0),∵PF⊥x轴,∴P,∴圆F的半径为,圆心为(,0),∴圆F的方程为(x-)2+y2=.(2)由A,B在圆上得|AF|=|BF|=|PF|=.设点C(x1,y1),D(x2,y2).|CF|==2-x1,同理|DF|=2-x2.\n若|AC|=|BD|,则|AC|+|BC|=|BD|+|BC|,即|AB|=|CD|=1,4-(x1+x2)=1,由得(4k2+1)x2-8k2x+12k2-4=0,∴x1+x2=,∴4-=1,得12k2=12k2+3,无解,故不存在.
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