突破新高考数学精选压轴题 第10讲 几何法秒解离心率问题（解析版）

第10讲几何法秒解离心率问题参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．过双曲线的右焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线左支于点，且是的中点，则双曲线离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，记右焦点为，则为的中点，为的中点，为△的中位线，，为切点，，，点在双曲线上，，，在中，有：，，即，离心率，故选：．2．设，分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为　　A．B．C．D．,【解答】解：可设为第一象限的点，且，，由题意可得，①由双曲线的定义可得，②由勾股定理可得，③联立①②③消去，，可得：，即，则，故选：．3．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，，则椭圆离心率的取值范围为　　A．，B．，C．，D．，【解答】解：设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形．因此，，，，，，又，，，，，，，，，，故选：．,4．已知，是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，，则椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：设，则，，而由椭圆的定义可知，所以，所以，则，在中，，所以在△中，，即，整理可得：，所以，故选：．5．设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，因为，且，所以，可得，，故．过作，在直角三角形中，，，由，可得．即可得，,．故选：．6．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，则与的离心率之和为　　A．B．4C．D．【解答】解：、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若，且，可得：，，，，代入椭圆方程可得：，可得，可得，解得．代入双曲线方程可得：，可得：，可得：，解得，则与的离心率之和为：．故选：．,7．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点，，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为　　A．3B．2C．D．【解答】解：设双曲线的左焦点为，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形．，．设，则，，即，．，，又，在△中，由余弦定理可得：，即，，双曲线的离心率．故选：．,8．设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：设椭圆的左、右两个焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上一点，且，，可知：，，设，可得，，，解得，可得．故选：．9．已知双曲线过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点，、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为　　A．B．2C．D．【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，,即，如下图所示：由点到直线距离公式可知：，又，，，，设，由双曲线对称性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知：．故选：．10．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是　　A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，分别与联立，解得，，，，,中点坐标为，，点满足，，，，．故选：．11．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为．已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是　　A．B．C．D．【解答】解：令代入双曲线的方程可得，由，可得，即为，即有①，因为恒成立，由双曲线的定义，可得恒成立，由，，共线时，取得最小值，可得，即有②，由，结合①②可得，,的范围是．故选：．12．已知椭圆的左、右焦点分别为，．若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为　　A．B．C．D．【解答】解：在△中，由正弦定理知，，，即，①又在椭圆上，，②联立①②得，即，同除以得，，得．椭圆的离心率的取值范围为．故选：．13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线支上，满足，，又直线与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是　　A．B．C．D．【解答】解：以，为边，作平行四边形，如图所示：,则，，又，所以，因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以，根据双曲线的性质，可知，因为，所以，即，，在△中，有，又，所以，所以，因为，，即，所以，解得，又因为双曲线的离心率，所以，由题意知，双曲线的渐近线方程为，又直线与双曲线的左右两支各交于一点，所以直线的斜率大于双曲线的渐近线的斜率，所以，即，所以，解得（或舍去），综上所述，．故选：．,14．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的三等分点（靠近点），则的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，由，，，所以，得．所以．故选：．15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是右支上一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是　　A．B．C．D．【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，则，，，由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，解得，又，即有，,离心率．故选：．16．已知双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于点，点位于第一象限，若△为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为　　A．B．2C．D．【解答】解：把代入双曲线，解得，，△为等腰直角三角形，，，，即，，即，解得或（舍．故选：．17．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，即，由题意可得，所以到渐近线的距离，圆的半径为，因为，所以可得，所以，所以可得离心率，故选：．,18．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点．若，则双曲线的离心率为　　A．B．C．D．2【解答】解：双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，可得到渐近线的距离为：，可得：，即，可得离心率为：．故选：．19．过椭圆的左顶点作圆是椭圆的焦距）两条切线，切点分别为，，若，则该椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：左顶点，因为，由椭圆的对称性可得，所以，即，所以离心率，故选：．二．填空题（共11小题）20．已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，,两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为　　．【解答】解：如图：，，，是的中点，也是的中点，设，，，，可得：，，消去可得：，即，即，，，解得，所以．故答案为：．21．设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：设椭圆的标准方程为：，由，设，，，过做，则，由椭圆的定义可得：，，，即，①，，由，即，整理得：解得，即，则,故答案为：．22．如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是　　．【解答】解：设，，点为椭圆，，，；，即；①又四边形为矩形，，②由①②解得，，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，，的离心率是．故答案为：．,23．已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是　2　．【解答】解：令，代入双曲线的方程可得，由题意可设，，，，由，可得，即为，由，，可得，解得（负的舍去）．故答案为：2．24．已知直线与双曲线相交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，为坐标原点），则双曲线的离心率为　　．【解答】解：设，则，取双曲线的右焦点，连接，，可得四边形为平行四边形，可得，设在第一象限，可得，即，,由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得，化为，则．故答案为：．25．双曲线的左、右焦点分别是、，直线与曲线交于，两点，，且，则双曲线的离心率是　　．【解答】解：设，因为，则，，所以，，，在三角形中，由余弦定理可得：，整理可得：，所以离心率，故答案为：．,26．已知双曲线的右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为　2　．【解答】解：如图，由题知，则，点是线段的中点，则，故，则，所以．故答案为：2．27．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是　　．【解答】解：不妨设双曲线的方程是，由及双曲线的对称性知，，，关于轴对称，如图，又满足条件的直线只有一对，当直线与轴夹角为时，双曲线的渐近线与轴夹角大于，,双曲线与直线才能有交点，，，，若双曲线的渐近线与轴夹角等于，则无交点，且不可能存在，当直线与轴夹角为时，双曲线渐近线与轴夹角小于，双曲线与直线有一对交点，，，，若双曲线的渐近线与轴夹角等于，也满足题中有一对直线，但是如果大于，则有两对直线．不符合题意，，则，，，解得．故答案为．28．已知点是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：如图，，作轴于点，则由，得：，所以，，即，,由椭圆的第二定义得，又由，得，，解得，故答案为：．29．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为．若，则的离心率是　　．【解答】解：设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为，则，，，由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得，解得，又，即有，离心率．故答案为：．30．已知双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若则双曲线的离心,率的取值范围是　，　．【解答】解：由题意可得，渐近线的方程为：，由双曲线及渐近线的对称性圆交于，，过作于，由题意可得，因为则，，所以，则，而由点到直线的距离公式可得，所以，即，即，，故答案为：，．