突破新高考数学精选压轴题 第12讲 破解离心率问题之内切圆问题（解析版）

第12讲破解离心率问题之内切圆问题参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，且，则双曲线的离心率为　　A．B．C．2D．【解答】解：过点作的垂线，垂足为，，设圆与轴切于点，，则，，即，则，与双曲线的右顶点重合，则，解得，，故离心率为：．故选：．2．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是　　,A．B．C．D．2【解答】解：，的内切圆半径为1，在直角三角形中，，可得，由双曲线的定义可得，，，由图形的对称性知：，．，，．故选：．3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，△的重心为．若△的内切圆的直径等于，且，则椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：因为△的重心为，所以在上且，,是△边上的高，是△的内切圆的半径，，所以，，所以，所以，所以离心率为，故选：．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上两点，且，设△的内切圆圆心为，△的内切圆圆心为，直线与线段交于点，且，则双曲线的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：如右图所示：由题意知为的角平分线，由角平分线的性质得，因为，所以，由双曲线的定义得，因此，，因为，所以，，由双曲线的定义得，由勾股定理逆定理可得，由在△中，，即，所以，．故选：．,5．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：椭圆的焦点为，，，根据正弦定理可得，，．设，，则，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故选：．6．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦,点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：设△的内切圆的半径为，则，而，所以，所以，由题意可得，即，所以，可得，即，可得离心率，故选：．7．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于、两点在第一象限），若△与△内切圆半径之比为，则双曲线离心率的取值范围为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意设△与△内切圆圆心分别为，，对应的切点分别是，，，，，则，，，，所以，而，故，所以，，设直线的倾斜角为，则，，所以，，由题意，可得，化弦后整理得，,结合，得，所以，则要使直线与双曲线右支交于两点，只需渐近线斜率满足，所以，故即为所求．故选：．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为　　A．B．2C．D．3【解答】解：设双曲线的左、右焦点，，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程，联立双曲线，可得，，设，，由三角形的面积的等积法可得，，化简可得①，,由双曲线的定义可得②，在三角形中，，为直线的倾斜角），由，，可得，可得③，由①②③化简可得，，所以（舍，，所以离心率，故选：．9．已知双曲线，点是该双曲线右支上的一点．点，分别为左、右焦点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为　　A．B．3C．D．【解答】解：由双曲线的方程知，，，设内切圆与，分别相切于点，，，，由内切圆的性质知，，，由对称性知，，,，由双曲线的定义知，，，离心率．故选：．10．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：椭圆的焦点为，，，根据正弦定理可得，，．设，，则，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故选：．,11．过双曲线的右焦点的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于，两点，且，为坐标原点，若内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，设的内切圆圆心为，则在轴上，过点分别作于，于，由得，四边形为正方形，焦点到渐近线的距离，又，，，，，离心率．故选：．12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，△的内切圆的圆心为，，则双曲线的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：如图，,设圆与轴切于点，，则，，即，则，又，且，，得，又，联立解得，，双曲线的离心率为．故选：．13．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：由题意，，所以，即，在三角形中，，解得，则，又由三角形的内切圆半径为，,由等面积法可得，则，由已知可得，所以，整理可得，解得或（舍去），所以椭圆的离心率，故选：．14．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，点是右支上的一点．直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为　　A．B．3C．D．【解答】解：双曲线的，设的内切圆在边上的切点为，在边上的切点为，如图可设，，，，由双曲线的定义可得，即有，所以．故选：．15．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限,内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，则该椭圆的离心率为　　A．B．C．D．【解答】：△内切圆的圆心，则是三角形的角平分线的交点，由角平分线定理可得，所以离心率，故选：．16．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为　　A．，B．，C．，D．【解答】解：设△的内切圆半径为，则，，，所以，所以，所以，故选：．17．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，，若恒成立，则双曲线的离心率为　　A．B．C．2D．3,【解答】解：设△的内切圆半径为，则，，，所以，所以，所以，故选：．18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的一点，若，且△外接圆与内切圆的半径之比为，则双曲线的离心率为　　A．B．C．D．2【解答】解：设△外接圆半径为，内切圆的半径为，设，，则，，，又，即，即，又，得，即，△的面积，即，，，,即，平方得，即，即，，即，得，得，得，即，故选：．19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若上存在一点，使得，且△内切圆的半径大于，则的离心率的取值范围是　　A．B．C．D．【解答】解：设，△内切圆的半径为，因为，所以在三角形中，由余弦定理可得：，则，由等面积法可得，整理得，故，又，则，,从而，故选：．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，，△的内切圆与外接圆的半径分别为，，若，则的离心率为　　A．B．C．D．【解答】解：设，则．因为，所以，则，则．由等面积法可得，整理得，因为，所以，故．故选：．二．多选题（共2小题）21．过双曲线的右焦点作直线，直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点，在轴同侧）．设为坐标原点，则下列结论正确的有　　A．B．若双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率等于2C．若，则双曲线的一条渐近线的斜率为D．若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率等于【解答】解：由题意如图所示：设，因为，可得，，,所以，所以正确；中，由双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以离心率，所以不正确；中，由题意可得，所以可得，则，可得，而直线的方程为与渐近线联立可得，，所以，可得，，整理可得：，解得或，所以不正确；中，若，在轴同侧，不妨设在第一象限．如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，又，所以，所以，从而可得，故正确；故选：．,22．已知双曲线的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是　　A．双曲线的离心率为B．△的面积为C．△内切圆半径为D．△的内心在直线上【解答】解：对于，设△的内心为，过作，，的垂线，垂足分别为，，，如图：则，所以，则△的内心在直线上，故正确；因为为等边三角形，当，都在同一支上时，则垂直于轴，可得，由题意可得，又，，,所以可得，，解得：；△的面积，设△内切圆的半径为，则由等面积法可得，；当，都在双曲线的左，右两支上时，设，，由双曲线的定义可知，得，在△中由余弦定理，，得，△的面积，设内切圆的半径为，则，得，故错误；而不论什么情况下△的面积为，故正确．故选：．三．填空题（共16小题）23．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于、两点，、两点的坐标分别为，，，，若，且内切圆的面积为，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：（1）由性质可知△的周长为，内切圆半径为1，,则，又，可得，即．故答案为：．24．双曲线的离心率是，点，是该双曲线的两焦点，在双曲线上，且轴，则△的内切圆和外接圆半径之比　　．【解答】解：由，得，则，设，，，，因为轴，所以，所以，所以△的内切圆半径为，△的外接圆半径为，所以△的内切圆和外接圆半径之比．故答案为：．25．过双曲线右焦点作直线，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与另一条渐近线交于点．已知为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为　或2　．【解答】解：（1）若，在轴同侧，不妨设在第一象限．如图，设内切圆的圆心为，则在的平分线上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，由焦点到渐近线的距离为得，又，所以，又，所以，所以，从而可得；,（2）若，在轴异侧，不妨设在第一象限如图，易知，，，所以的内切圆半径为，所以，又因为，所以，，所以，，则，从而可得．综上，双曲线的离心率为或2．故答案为：2或．26．已知点是椭圆上一点，点、是椭圆的左、右焦点，若△的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：设△的内切圆半径为，则，，，所以，即的最大值为，,由题意可得，所以可知，即，可得所以椭圆的离心率故答案为：．27．已知点、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与△的内切圆圆心的直线交轴于点，且，，则该椭圆的离心率取值范围为　，　．【解答】解：△内切圆的圆心，则是三角形的角平分线的交点，由角平分线定理可得，即，因为，所以，故答案为：，．28．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上的一点，与椭圆交于．若△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：为的中点，,，△的内切圆与线段在其中点处相切，与切于，由内切圆的性质可得，，为椭圆上的一点，，，，，设△的内切圆与切于，结合内切圆的性质可得，，与椭圆交于，，，为切点，由内切圆的性质可得，，又，，△为等边三角形，，．,故答案为：．29．如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为　　．【解答】解：设的内切圆的圆心为，、与圆的切点分别为、，连结、、，由题意得，，，，则，所以，故答案为：．30．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、与轴垂直的直线经过，交于、两点．记．若内切圆的半径为，则的离心率为　　．,【解答】解：不妨设在第一象限，则直线方程为，把代入可得，故，．若内切圆的半径为，可得，，可得椭圆的离心率．故答案为：．31．已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线过点与轴交于点，与双曲线的右支交于点，的内切圆与边切于点，若，则双曲线的离心率为　　．【解答】解：根据题意画图：设，分别为内切圆与，的切点，故，，，根据双曲线的定义，又，所以，,又因为，所以，所以，故答案为：．32．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形．若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为　　．【解答】解：由椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成的三角形面积，该三角形的周长为，由题意得，即，所以．故答案为：．33．已知点为双曲线的左焦点，为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点作的垂线交于点，若恰为线段的中点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为　　．【解答】解：设，，由题意知，点在渐近线上，点在渐近线上，，，，，为线段的中点，且，,，解得，，，，的内切圆半径为，，即，化简得，，离心率．故答案为：．34．已知抛物线的准线与双曲线的渐近线分别交于，两点，是坐标原点．若的内切圆的周长为，则内切圆的圆心坐标为　，　，双曲线的离心率为　　．【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：，由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为，设三角形的内切圆半径为，则，所以，所以圆心坐标为，，且圆心到直线的距离为，解得，所以，,则双曲线的离心率为，故答案为：，．35．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为　　．【解答】解：由题意，，，即，在△中，，可得，得，又△的内切圆的半径，由等面积法可得：，则，由已知，可得，则，结合正弦定理可得，，整理可得，解得或（舍．故答案为：．36．如图，已知为双曲线的右焦点，过点的直线交两渐近线于，两点．若，内切圆的半径，则双曲线的离心率为　　．,【解答】解：过作垂直渐近线于，则，，，，在中，由余弦定理知，，即，解得，设的内心为，作于，则，，，，，即，．故答案为：．37．点是双曲线右支上的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，点是△的内切圆圆心，记，，△的面积分别为，，,，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是　，．　．【解答】解：设三角形内切圆的半径为，则，，，，，即，，又，．故答案为：，．38．如图，中，，为上一点，且，的内切圆与边相切于，且．设以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，则的值为　　．【解答】解：如图，设，分别是，与圆的切点．由圆的切线的性质可得，，，又因为，所以，即，设，由，可得，则，，在中，，即所以以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为；以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，所以．,故答案为：．