2023年新高考一轮复习讲义第21讲 利用导数探究函数的零点问题（解析版）

第21讲　利用导数探究函数的零点问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·重庆·一模）定义在上的函数满足：当时，，当时，，若关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：当时，，故在上单调递减，在上单调递增，，，时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，时，时，故有两个不等实根只需，即.故选：C2．（2022·河北·模拟预测）已知实数，满足，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由条件得，，令，，则，由条件，则，令，，则，显然当时，，在上单调递增．故由，可得，．试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：C．3．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导得，对函数求导得，作出函数的图象如下图所示：当直线与曲线相切于原点时，，当直线与曲线相切于原点时，.结合图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，故选：A.4．（2022·天津·南开中学模拟预测）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】D令,则，设，令试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解．5．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数在上有两个零点，则m的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：函数在上有两个零点，等价于与有两个不同的交点，恒过点，设与相切时切点为，因为，所以切线斜率为，则切线方程为，当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为，由函数图像特征可知：函数在上有两个零点，则实数的取值范围是.故选：D.6．（2022·辽宁沈阳·一模）若函数，则是在有两个不同零点的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】，令，则，令，，令，得，解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以，在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，所以，即有2个零点的充要条件为，又是的充分不必要条件，所以“”是“有2个零点在”的充分而不必要条件，故选：A7．（2022·河北·模拟预测）我们定义：方程的实数根叫做函数的“新驻点”，，若的“新驻点”分别为，则下列选项中正确的有（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由“新驻点”的概念可知，故A错误，C正确.令，，故在单调递增，又，故，故B错误，令，由上可知在单调递增,故在先减后增，又，，，所以或,故D错.故选：C试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（       ）A．3B．4C．2或3或4或5D．2或3或4或5或6【答案】A【解析】根据题意作出函数的图象：，当，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以；函数，时单调递减，所以，对于方程，令，则，所以，即方程必有两个不同的实数根，且，当时，，3个交点；当时，，也是3个交点；故选：A．9．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（       ）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】由题设，，可得：，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由，易知：关于对称.当时，，则，所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.故选：C10．（2022·山东济宁·二模）已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】与关于y轴对称，且，要想有5个零点，则当时，要有2个根，结合对称性可知时也有2个零点，故满足有5个零点，当时，，不合题意；当时，此时令，定义域为，，令得：，，令得：，故在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，在处取得极大值，其中，故，此时与有两个交点.故选：C试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 11．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（       ）A．B．C．0D．1【答案】AD【解析】令，则有，令，则有，所以在上单减，在上单增，当时，，，当时，故有唯一零点即或.故选：AD12．（2022·重庆南开中学模拟预测）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】有解，即，令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，故的取值范围为．故答案为：．13．（2022·湖北·模拟预测）已知函数，若函数有5个零点，则实数试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 k的取值范围为______．【答案】【解析】解：因为，所以，所以函数为偶函数，又，所以在上有两个零点，即有两个不同的正实数解，即，令，则，；.故在上递减，上递增，故．画出图像如图所示从而.故答案为：．14．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．【答案】【解析】当时，由可得，令，其中，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则，由，可得，列表如下：增极大值减如下图所示：因为在内有且只有一个零点，则，所以，，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则当时，，又因为，，所以，，因此，在上的最大值与最小值的和为.故答案为：.15．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数有三个不同的零点，，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，其中，则的值为________．【答案】1【解析】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，∴，作出的图象，如图要使有三个不同的零点，，其中令，则需要有两个不同的实数根（其中）则，即或，且若，则，∵，∴，则∴，则，且∴=若，则，因为，且，∴，故不符合题意，舍去试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 综上故答案为：116．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的极值点；(2)当时，试讨论函数的零点个数.【解】(1)当时，，则，令，则.当时，，，在上单调递增，，在上单调递增.当时，可得，，在单调递减；综上，函数的极值点为.(2)当时，，是的一个零点，令，可得.因为，①当时，，，在单调递增，，在单调递增，，此时在无零点.②当时，，有，此时在无零点.③当时，，，在单调递增，又，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，由零点存在性定理知，存在唯一，使得.当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；又，，所以在上有个零点.综上，当时，有个零点.17．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围.【解】(1)由题得，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点；又当时，，当时，，当时，，所以只能在内取得最小值，因为是在（0，）内的极小值点，也是最小值点，所以．(2)由题可得（），∴①当时，，函数在上单调递增，又∵，∴函数有且仅有1个零点，∴符合题意；②当时，令，，函数在上单调递增，因为，∴存在唯一的实数，使得，即，当时，，单调递减；时，，单调递增；又∵时，，时，，且，∴当函数有且仅有1个零点时，，∴符合题意试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 综上可知，的取值范围是或.【素养提升】1．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，有如下结论：①有两个极值点；②有个零点；③的所有零点之和等于零.则正确结论的个数是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，则，.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，函数的最小值为.，.令，当时，，则函数在上单调递增，则，所以，当时，.，，由零点存在定理可知，函数在和上各有一个零点，所以，函数有两个极值点，命题①正确；设函数的极大值点为，极小值点为，则，则，所以，函数的极大值为试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，构造函数，则，所以，函数在上单调递减，当时，；当时，.，，，则，即.同理可知，函数的极小值为.，.由零点存在定理可知，函数在区间、、上各存在一个零点，所以，函数有个零点，命题②正确；令，得，，则，令，则，所以，函数所有零点之和等于零，命题③正确.故选：D.2．（2022·重庆·二模）已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中m，n为正实数），则的最小值为（       ）A．9B．7C．D．4【答案】A【解析】当时，恒成立，∴在上单调递减，∴，当时，为偶函数，在上单调递增，在上单调，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∴，即，当时，恒成立，∴在上单调递增，∴，由此作出函数的草图如下所示，由函数恰有三个零点可得，即，所以，即的最小值为9，当且仅当，时，等号成立，故选：A.3．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数有两个零点，下列说法错误的是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数有两个零点，所以有两个根，即，即与有两个交点，画出函数图像如下图所示：试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 设，所以，当时，解得，函数单调递增；当时，解得，函数单调递减，所以，当时，，当时，，所以当时，与有两个交点，即函数有两个零点，故A正确；结合图像可知，因为，要证明，即证明，整理得，令，所以，设，所以恒成立，所以在单调递增，所以，即，故D正确；由D选项正确，即，即成立，因为，所以，所以，故B不正确；因为，，可得，可得，故C选项正确.试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：B.4．（多选）（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）若关于的方程有两个实数根，则的取值可以是（       ）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】相当于用和这两条水平的直线去截函数的图像一共要有两个交点.，所以当时，；当时，；所以函数的增区间为减区间为.且当取时，，当取时，，.所以函数图象如图所示，当时，，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；当时，，和和函数的图象各有一个交点，共有两个交点，满足题意；当时，，和和函数的图象各有两个交点，共有四个交点，不满足题意；当时，，和和函数的图象各有两个交点和零个交点，共有两个交点，满足题意.故选：ABD试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 5．（多选）（2022·山东泰安·三模）已知函数（）有两个不同的零点，，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[0.5]＝0，[1.2]＝1，则下列结论正确的是（       ）A．a的取值范围为B．a的取值范围为C．D．若，则a的取值范围为【答案】BD【解析】函数的定义域为，，当时，，函数在上单调递增，函数在上至多只有一个零点，与条件矛盾，当时，由可得或（舍去），当时，，函数单调递增，当，，函数单调递减，因为函数有两个不同的零点，可得所以，所以，所以，B对，不妨设，因为，，所以，，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，则，当时，则所以，当时，，此时，，C错，因为，若则，，，所以，，，所以，所以，若，则，，，且所以，，所以，所以，又，所以，所以，故满足条件的不存在，所以a的取值范围为，D对，故选：BD.6．（2022·湖南衡阳·三模）已知函数（），若函数的极值为0，则实数__________；若函数有且仅有四个不同的零点，则实数的取值范围是__________．【答案】        【解析】当时，，即递增，无极值；试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当时，，若时，，即递减，无极值；若时，时，递减，时，递增，此时有极小值；综上，在且时，，可得；由题设，，显然即为偶函数，要有且仅有四个不同的零点，则在上有两个零点，即存在变号零点，所以时，，故递增；而趋向正无穷时趋于正无穷，故，即，而，存在使得，即，且在上递减，在上递增，由，趋向时趋于，故，只需，则或（舍），而，则，即递增，所以.综上，的取值范围.故答案为：；7．（2022·浙江温州·二模）已知，函数有且仅有两个不同的零点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】因为函数有且仅有两个不同的零点，所以方程有且仅有两个不同的实数根，由，设，问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，，显然，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递增，而，所以当时，单调递减，当时，单调递增，，因为，所以直线的斜率为负值且恒过横轴负半轴上一点，如图所示：设函数的切点为，过该切点的斜率为，切线方程为，当该切线方程为时，有，消去得：，或（舍去），或，当时，，此时方程的切线方程为：，当时，，不符合，因此要想函数的图象与直线有两个不同的交点，所以有，故答案为：试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 8．（2022·河北衡水中学一模）已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多.【答案】【解析】解：作出函数的图象如图：由得，设，当时，与有2个交点；当时，与有2个交点；.当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，当时，设与相切，切点为，则，所以切线的斜率为，其切线方程为：，又因切线恒过点，所以，解得，所以切线的斜率为，所以当时，与有1个交点；当时，与有2个交点；当时，与有3个交点；当时，与有4个交点；所以实数的取值范围为时，的零点最多，故答案为：.试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 9．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数．(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)判断函数的零点个数，并说明理由.【解】(1)，所以函数的图象在处的切线方程为，即.(2)设，则，①当时，，所以单调递减；且，，由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使又当时，；当时，，所以在上单调递增，且，，所以在上有唯一零点；当时，单调递减，且，所以在上没有零点.   试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ②当时，单调递增，，，所以在区间有唯一零点，设为，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；在区间上，此时单调递减，且，故有，此时单调递减，且，由，得，所以.当时，，所以单调递增，又，故，，，试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以存在，使，即，故为的极小值点.此时.所以在上没有零点.③当时，，所以，所以在区间上没有零点.综上在区间上有且仅有一个零点.试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第26页，共1页学科网（北京）股份有限公司