2023年新高考一轮复习讲义第17讲 导数与函数的单调性（解析版）

第17讲　导数与函数的单调性学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·吉林吉林·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(       )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可知，恒成立，故，即．故选：A﹒2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）已知，为的导函数，则的图像大致是（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项A、D，令试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，，当，，在递减，故选B．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴∵函数在区间上不是单调函数∴在区间上有根∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当时，∵，∴，∴.故选：D．4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.5．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 （       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，函数单调递增，故A不符合题意；对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，由幂函数的性质知函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，当时，又，所以函数在上单调递减，故C符合题意；对于D，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，又，令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间为，，则减区间是（       ）A．B．C．D．，【答案】B试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】函数，则，当时，恒成立，函数在其定义域内是递增．当时，令，解得：，当时，，函数是递增．函数的一个单调递增区间为，故得：，解得：，在时，，函数是递减．故选：B．7．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知函数是偶函数，其导函数的图象见下图，且对恒成立，则下列说法正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】又由导函数的图象得，当时，，单调递增，故选：D.8．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知，p：；q：函数在区试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 间上不单调，则p是q的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，又，又，要使函数在区间上不单调，有，解得，显然，即p是q的充分不必要条件.故选：A.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为．由于在区间上单调递增，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是．故选：A.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）对于函数，下列结论中正确的是（     ）A．在(0，＋∞)上单调递增B．在上单调递减C．有最小值D．有两个零点【答案】BC【解析】∵，∴，由可得，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最小值，即，所以A错误，BC正确，D错误.故选：BC.11．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）函数均是定义在R上的单调递增函数，且，则下列各函数一定在R上单调递增的是（       ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】取，故，设，则，在上，，故在上为减函数，故A错误.而，设，则，在上，，故在上为减函数，故D错误.设，，任意，则，因为均是定义在R上的单调递增函数，试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故，所以即，故是R上的单调递增函数.而因为是定义在R上的单调递增函数，故，且，所以即，故是R上的单调递增函数.故BC正确.故选：BC12．（多选）（2022·山东·青岛二中高三期末）记的导函数为，若对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（       ）A．B．C．D．【答案】BC【解析】解：因为，所以，则，所以在单调递增，所以，即，所以，故A错误；同理，即，所以，故B正确；因为，所以，构造函数，则，所以在单调递减，所以，即，化简得，故C正确；同理，即，化简得，故D错试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 误.故选：BC.13．（2022·湖北·模拟预测）已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为___________．【答案】【解析】，在为增函数，又为偶函数，∴，则，得或，解集为故答案为：．14．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】，由于函数有三个单调区间，所以有两个不相等的实数根，所以.故答案为：15．（2022·北京·二模）已知奇函数的定义域为R，且，则的单调递减区间为__________；满足以上条件的一个函数是__________．【答案】        （答案不唯一）【解析】由可得，所以或，所以当或时，，当时，，试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以的单调递减区间为，所以满足条件的一个函数可以为（答案不唯一）故答案为：，（答案不唯一）16．（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．【答案】【解析】，则原向题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解，因为，且在上单调递减，所以当时，，所以.故答案为：17．（2022·山东师范大学附中高三期中）设函数(1)当时，求的单调区间；(2)任意正实数，当时，试判断与的大小关系并证明【解】(1)时，，，令得；令得或故的单增区间为，单减区间为，(2)结论：，证明如下：试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 设，由均为正数且得设，则①当时，由得即故单调递减，从而而，此时成立②当时，在上单调递减，在上单调递增故的最小值为此时只需证，化简后即证设，故单调递增，从而有，即证综上：不等式得证．18．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【解】(1)解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：(2)解：因为，       所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.(3)解：原不等式等价于，试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.【素养提升】1．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 2．（多选）（2022·福建泉州·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（       ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】令，则恒成立，所以单调递增，其中，，则存在，使得①当时，即，若，则，且，则，不满足，故，且，所以又因为，所以，D正确；②当时，，即（1）当时，，，则成立，故，B正确；（2）当时，，若，则，因为，且在上单调递增，所以当时，，则，所以，所以，又因为，所以，选项C正确.故选：BCD3．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为______．试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】由得，所以，，因为，所以，设（），则，递增，所以由得，所以，，设，则，所以时，，递增，时，，递减，所以．故答案为：．4．（2022·江苏江苏·三模）设函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若在上单调递增，求.【解】(1)解：因为，可得，设，则所以当时，，函数在上单调递增，即函数在上单调递增，又由，所以当时，；当时，，所以当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)解：令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 又由，所以，即，所以，所以；令，可得，所以函数单调递增，因为，当，可得，即，即；当，可得，即，即，（2.1）当时，由（1）知不合题意；（2.2）当时，若，；当时，，单调递减，不合题意；（2.3）当时，若，同理可得，当时，，单调递减，不合题意；（2.4）当时，，可得，设，则，①当时，，所以在上单调递增，在上单调递增，②当时，若，，若，，所以在上单调递增，在上单调递增，试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由①②可知，，所以在上单调递增，综上所述，.试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第16页，共1页学科网（北京）股份有限公司