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2023版新高考数学一轮总复习第3章第2讲第1课时导数与函数的单调性课件
2023版新高考数学一轮总复习第3章第2讲第1课时导数与函数的单调性课件
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第三章导数及其应用\n第二讲 导数在研究函数中的应用第一课时 导数与函数的单调性\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点 函数的单调性(1)设函数y=f(x)在某个区间内_______,若f′(x)_____0,则f(x)为增函数,若f′(x)_____0,则f(x)为减函数.可导><\n(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤:①确定f(x)的_________;②求导数f′(x);③令f′(x)_____0(或f′(x)_____0),解出相应的x的范围;④当____________时,f(x)在相应区间上是增函数,当____________时,f(x)在相应区间上是减函数.定义域><f′(x)>0f′(x)<0\n导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件.(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件.\n题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.()(2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f′(x)≥0,则y=f(x)在(a,b)上一定为增函数.()(3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.()××√\n×\n\n题组二 走进教材2.(选修2P89T3改编)如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下列判断正确的是()A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增B.在区间(1,3)上f(x)单调递减C.在区间(4,5)上f(x)单调递增D.在区间(3,5)上f(x)单调递增[解析]在区间(4,5)上f′(x)>0恒成立,∴f(x)在区间(4,5)上单调递增.C\nB[解析]y′=-xsinx,经验证,只有在(π,2π)内y′>0恒成立,∴y=xcosx-sinx在(π,2π)上单调递增.\n4.(选修2P99T12改编)已知函数f(x)=1+x-sinx,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是()A.f(2)>f(3)>f(π)B.f(3)>f(2)>f(π)C.f(2)>f(π)>f(3)D.f(π)>f(3)>f(2)[解析]f′(x)=1-cosx,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2).故选D.D\nC\n\n考点突破·互动探究\n考向1不含参数的函数的单调性——自主练透(1)函数f(x)=x2-2lnx的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,1)(2)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)例1考点函数的单调性AD\n(-∞,0)(0,1)\n\n\n用导数f′(x)确定函数f(x)单调区间的三种类型及方法:(1)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时,根据函数的定义域,解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间.(2)当方程f′(x)=0可解时,根据函数的定义域,解方程f′(x)=0,求出实数根,把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来,把定义域分成若干个小区间,再确定f′(x)在各个区间内的符号,从而确定单调区间.\n(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)=0均不可解时,对f′(x)化简,根据f′(x)的结构特征,选择相应的基本初等函数,利用其图象与性质确定f′(x)的符号,得单调区间.\n考向2含参数的函数的单调性——师生共研(2021·全国甲文,20,12分)设函数f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.例2\n\n\n\n(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系,以此来确定分界点,分情况讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.\n\n\n\n\n例3CD\n\n角度2解不等式已知f(x)=2(x+1)-cosx,则不等式f(lnx-1)<1的解集为()A.(0,e)B.(1,+∞)C.(e,+∞)D.(1,e)[解析]由f′(x)=2+sinx>0,得函数f(x)在R上单调递增,又f(0)=2-cos0=1,故不等式f(lnx-1)<1可化为f(lnx-1)<f(0),得lnx-1<0,解得0<x<e.故选A.例4A\n角度3已知函数的单调性求参数取值范围若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)[分析]利用函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增等价于f′(x)≥0在(1,+∞)恒成立求解.或利用区间(1,+∞)是f(x)的增区间的子集求解.例5D\n\n\n[引申]本例中(1)若f(x)的增区间为(1,+∞),则k=____;(2)若f(x)在(1,+∞)上递减,则k的取值范围是_____________;(3)若f(x)在(1,+∞)上不单调,则k的取值范围是_________;(4)若f(x)在(1,+∞)上存在减区间,则k的取值范围是____________;(5)若f(x)在(1,2)上单调,则k的取值范围是___________________.1(-∞,0](0,1)(-∞,1)\n\n\n已知函数单调性,求参数取值范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题:利用“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数f(x)单调递减,则f′(x)≤0”来求解.提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.\n\nD(0,1)\n\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例6(2,+∞)B\n\n[解题指导]注意到a,b为同底的对数值,考虑用对数函数的单调性比较大小,c与a、b的结构不同,可构造与lnx相关的不等式,放缩后再比较大小.例7B\n\n\n\n\n\n\n\n\nC\nB\n\n
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所属:
高考 - 一轮复习
发布时间:2022-06-24 16:00:03
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文章作者:随遇而安
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