2023年新高考一轮复习讲义第10讲 幂函数与二次函数（解析版）

第10讲　幂函数与二次函数　学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·广东·二模）定义在上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】A.,由正弦函数的性质可知在上不为增函数，故排除；B.在上单调递减，故排除；C.，故函数在上为偶函数，故排除；D.，，故函数在上为奇函数，且由幂函数的性质知在上单调递增，则在上单调递增，满足题意；故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 D．q为奇数，p为偶数，且【答案】D【解析】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ）A．B．0或2C．0D．2【答案】D【解析】因为是幂函数，所以，解得或2，当时，在上为减函数，不符合题意，当时，在上为增函数，符合题意，所以.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A．k≤-8B．k≥4C．k≤-8或k≥4D．-8≤k≤4【答案】C【解析】函数对称轴为，要使在区间[-2，1]上具有单调性，则或，∴或综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（       ）A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【答案】D【解析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得，∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，故选：D.6．（2022·湖南·二模）“”是“”的（       ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为是定义在上的增函数，又，所以，解得，因为由可推出，而由无法推出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数的图像经过点与点，，，，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，由题意可得：，则∴，，∴故选：C．试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 8．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知二次函数的值域为，则的最小值为（       ）A．4B．6C．8D．10【答案】A【解析】因为二次函数的值域为，所以，即，，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：A9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）有如下命题，其中真命题的标号为（       ）A．若幂函数的图象过点，则B．函数且的图象恒过定点C．函数在上单调递减D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是【答案】BD【解析】对于A，令，则，解得：，，，A错误；对于B，令，即时，，恒过定点，B正确；对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误；对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确.故选：BD.10．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数，则下列结论正确的有（       ）A．B．的定义域是试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 C．是偶函数D．不等式的解集是【答案】ACD【解析】因为函数是幂函数，所以，得，即，，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；，所以函数是偶函数，故C正确；函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.故选：ACD11．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在在上单调递增，则______.【答案】1【解析】幂函数在在上单调递增可得解得故答案为：12．（2022·广东广州·三模）写出一个在区间上单调递减的幂函数__________.【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知：为幂函数，且在区间上单调递减.故答案为：（答案不唯一）.13．（2022·北京房山·二模）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)【解析】y=x和y=的图象如图所示：试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，故当或时，函数在上不是增函数．故答案为：-2．14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若在区间上的最大值是3，则的取值范围是______.【答案】【解析】由题易知，即，所以，又，所以.下证时，在上最大值为3.当时，，;当，若，即，则，满足;若，即，此时，而，满足;因此，符合题意.15．（2022·全国·高三专题练习）函数，，，当时，试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，且的最大值为，则_______．【答案】2【解析】因为，所以在，上单调递增，所以，因为当时，，所以，则，又因为，所以，则，所以，令，且对称轴为，因为当时，，所以，则，所以，故答案为：216．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为幂函数，且为奇函数，设函数．（1）求实数的值及函数的零点；（2）是否存在自然数，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【解】（1）为幂函数，，解得：或；当时，，，即为偶函数，不合题意；当时，，，即为奇函数，符合题意；，此时，试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，解得：，的零点为；（2）由（1）知：；与均为上的增函数，为上的增函数，，，的解，不存在自然数，使得.【素养提升】1．（2022·湖南·高三阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数，，，使得成立，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为幂函数在上单调递增，所以，即.，则的值域为，又因为函数在上为增函数，所以，的值域为，因为，，使得成立，所以，解得.故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则______.试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【答案】30【解析】由，得，，.因为点在函数上，所以，即.所以，所以.故答案为：30.3．（2022·全国·高三专题练习）已知为常数，函数在区间上的最大值为，则____．【答案】或【解析】解：函数的图象是由函数的图象纵向对折变换得到的，故函数的图象关于直线对称，则函数的最大值只能在或处取得，若时，函数取得最大值3，则，，当时，时，，满足条件；当时，时，，不满足条件；若时，函数取得最大值3，则，，或，当时，时，，不满足条件；当时，时，，满足条件；综上所述：值为1或3；故答案为：1或3．4．（2022·全国·高三专题练习）已知，对于给定的负数，有一个最大的正数试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，使得时，都有，则的最大值为___________.【答案】【解析】，当，即时，要使在上恒成立，要使取得最大值，则只能是的较小的根，即；当，即时，要使取得最大值，则只能是的较大的根，即当时，，当时，，所以的最大值为.故答案为：5．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）因为幂函数在上单调递减，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假设存在，使得在上的值域为，①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ②当时，，显然不成立；③当时，，在和上单调递增，故，解得.综上所述，存在使得在上的值域为.6．（2022·全国·高三专题练习）设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式：.【解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数的取值范围是；(2)不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；(3)不等式，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，当，即时，或，试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第13页，共1页学科网（北京）股份有限公司