2022人教版高考数学（浙江版）一轮复习训练：第二章第4讲二次函数与幂函数（含解析）

[A级基础练]1．若一次函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2－bx的图象只可能是()解析：选C．因为一次函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，－bbb＞0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－＝<0.只有选项C适2a2a合，故选C．2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()112－1A．①y＝x，②y＝x3，③y＝x2，④y＝x1B．①y＝x32－1，②y＝x，③y＝x2，④y＝x1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x－12，④y＝x11D．①y＝x2－13，②y＝x2，③y＝x，④y＝x解析：选B．注意到函数y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，1该函数图象应与②对应；y＝x2＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应－11与③对应；y＝x＝，其图象应与④对应．x3．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是()A．y＝x－1B．y＝x－21C．y＝x3D．y＝x3－1解析：选B．对于A，y＝x是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，－20)上单调递减，三个性质中有两个不正确；对于B，y＝x是偶函数，值域是{y|y∈R， 且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C，D中的函数不符合条件．4．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))，若c2＋(f(x1)＋f(x2))·c＋f(x1)·f(x2)＝0，则()A．b2－4ac≥0B．b2－6ac≥0C．b2－8ac≥0D．b2－10ac≥0解析：选C．由c2＋(f(x1)＋f(x2))·c＋f(x1)·f(x2)＝0可知(c＋f(x1))(c＋f(x2))＝0，得f(x21)＝－c或f(x2)＝－c，所以x1，x2至少有1个是f(x)＝－c的根，所以ax＋bx＋2c＝0在R上有实数根，所以Δ＝b2－4a·(2c)≥0，b2－8ac≥0.选C．25－，－45．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为4，则m的取值范围是()3，4A．[0，4]B．233，＋∞，3C．2D．23325解析：选D．二次函数图象的对称轴为x＝，且f2＝－，f(3)＝f(0)＝－4，243，3结合函数图象(如图所示)可得m∈2.6．已知幂函数y＝mxn(m，n∈R)的图象经过点(4，2)，则m－n＝________．解析：函数y＝mxn(m，n∈R)为幂函数，则m＝1；又函数y＝xn的图象经过点n111(4，2)，则4＝2，解得n＝.所以m－n＝1－＝.2221答案：2 7．如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为为1，那么实数a＝________．解析：因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．－a>4－3a，－a≤4－3a，因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以或解得a＝1.－a＝14－3a＝1，答案：18．已知函数f(x)＝|2x2＋|x－a|＋3b|，若f(x)在[－1，1]上的最大值为2，则a＋3b的最大值为________．解析：通解：由题意，可得－2≤2x2＋|x－a|＋3b≤2，x∈[－1，1]，所以－2－2x2≤|x－a|＋3b≤2－2x2，x∈[－1，1]，所以在x∈[－1，1]上V型函数y＝|x－a|＋3b的图象夹在函数g(x)＝－2－2x2与h(x)＝2－2x2的图象之间．解决双变量问题时先固定一个变量，在x∈[－1，1]中移动V型函数y＝|x－a|＋3b的图象．不妨取3b＝－2，变化a，移动V型函数y＝|x－a|＋3b的图象，当a取最值时，要符合如图所示的临界状况，其中当a取最大值时，a＝1，a＋3b取得最大值，为－1.(其实不难发现，在移动V型函数y＝|x－a|＋3b的图象时，要使a＋3b最大，必定要将其移动到最右侧，使得V型函数y＝|x－a|＋3b的图象的左支过点(－1，0)(如图2)，此时|－1－a|＋3b＝|a＋1|＋3b＝0，又显然此时a>0，b<0，故有a＋1＝－3b⇒a＋3b＝－1.因此a＋3b的最大值为－1)优解：若f(x)在[－1，1]上的最大值为2，则y＝2x2＋|x－a|＋3b∈[－2，2]，x∈[－1，1]，而二次函数的最值在区间的端点或对称轴处取得，11所以只需当x＝－1，－，，1时满足题意即可．当x＝－1时，得－2≤2＋|a44＋1|＋3b≤2， 11所以2＋a＋1＋3b≤2＋|a＋1|＋3b≤2，即a＋3b≤－1.同理，当x＝－，，1441317时，分别可得a＋3b≤，a＋3b≤，a＋3b≤1.所以a＋3b≤－1，即a＋3b的最88大值为－1.答案：－19．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．[B级综合练]10．已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．与x的值无关1解析：选C．由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x＝，因4为x1＋x2＝0，所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，由x1<x2，结合二次函数的图象可知f(x1)<f(x2)．11．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，f(x1)－f(x2)且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论x1－x2可能成立的是()A．a＋b>0，ab<0B．a＋b>0，ab>0C．a＋b<0，ab<0D．以上都可能 解析：选C．由于函数f(x)为幂函数，故m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.13当m＝－1时，f(x)＝，当m＝2时，f(x)＝x.由于“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x3f(x1)－f(x2)且x31≠x2，满足>0”，故函数在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝x.由于f(－x1－x2x)＝－f(x)，故函数是单调递增的奇函数．由于f(a)＋f(b)<0，所以a＋b<0且ab<0，故选C．12．定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0有最优解，则实数m的取值范围是________．解析：|x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|<mx－2.分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示．f(2)≥g(2)，易知m≠0，当m>0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，则有f(3)<g(3)，f(4)≥g(4)，3≥2m－2，27即0<3m－2，解得<m≤.345≥4m－2，f(0)≥g(0)，当m<0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)<g(x0)，则有f(－1)<g(－1)，即f(－2)≥g(－2)，3≥－2，70<－m－2，解得－≤m<－2.综上可得，实数m的取值范围是25≥－2m－2，727－，－2，2∪34.727－，－2，答案：2∪34 13．已知二次函数f(x)满足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的解析式；x(2)若x>0，求g(x)＝的最大值．f(x)解：(1)因为二次函数满足f(x)＝f(－4－x)．所以f(x)的图象的对称轴为直线x＝－2，因为x1，x2是f(x)的两个零点，且|x1－x2|＝2.x1＝－3，x1＝－1，所以或x2＝－1x2＝－3.设f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．由f(0)＝3a＝3得a＝1，所以f(x)＝x2＋4x＋3.xx1(2)由(1)得g(x)＝＝＝(x>0)，f(x)x2＋4x＋3x＋3＋4x113因为x>0，所以≤＝1－，x＋3＋44＋232x3当且仅当x＝，即x＝3时等号成立．x3所以g(x)的最大值是1－.214．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，即f(x)2max＝f(1)＝6－2a＝a，f(x)min＝f(a)＝－a＋5＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)2min＝f(a)＝5－a，f(x)max＝max{f(1)， f(a＋1)}，又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，所以f(x)2max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为[2，3][C级提升练]15．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1，3)．若对任意的x∈[－1，0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，2]B．[4，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，4]解析：选B．因为f(x)>0的解集为(－1，3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根c－＝－1×3，2b＝4，为－1，3，所以得令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6b＝－1＋3，c＝6.2＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1，0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1，0]上恒成立，所以m≥4，故选B．16．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，f(b)－f(a)满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一b－a个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值f(1)－f(－1)点，所以＝m＝f(x20)，即关于x0的方程－x0＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有1－(－1)实数根，解方程得x0＝1(舍去)或x0＝m－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)