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2022人教版高考数学(浙江版)一轮复习训练:第二章第5讲指数与指数函数(含解析)

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[A级 基础练]1.若函数f(x)=(2a-5)·ax是指数函数,则f(x)在定义域内(  )A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.先减后增解析:选A.由指数函数的定义知2a-5=1,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(x)在定义域内为增函数.2.设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是(  )A.M=NB.M≤NC.M<ND.M>N解析:选D.因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=<1,所以M>N,故选D.3.已知函数f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数图象不经过点A的是(  )A.y=+2B.y=|x-2|+1C.y=log2(2x)+1D.y=2x-1解析:选D.函数f(x)=ax-1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,令x-1=0,得x=1,f(1)=2,所以恒过点A(1,2).把x=1,y=2代入各选项验证,只有D中的函数没经过该点.4.已知函数f(x)=-,则f(x)是(  )A.奇函数,且在R上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数,且在R上是减函数D.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数解析:选C.易知f(x)的定义域为R,f(-x)=-=-,则f(-x)+f(x)=0,所以f(x)是奇函数.函数f(x)=-显然是减函数.故选C.5.当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是(  )A.(1,)B.C.∪(1,)D.(0,1)∪(1,)解析:选C.x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1).若a>1,y=ax是增函数,则有a2<2,可得a<,故有1<a<;若0<a<1,y=ax是减函数,则有a-2<2,可得a>,故有<a<1.综上所述,a∈∪(1,).6.计算:+0.1-2+-3π0+=________.解析:原式=++-3+=+100+-3+=100.答案:1007.函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围是________.解析:因为函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b, 由题意得解得故ab∈(0,1).答案:(0,1)8.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是________.解析:当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈,所以[-8,1],即-8≤-<-1,即-3≤a<0.所以实数a的取值范围是[-3,0).答案:[-3,0)9.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过点(0,-2),(2,0).(1)求a与b的值;(2)求x∈[-2,4]时,f(x)的最大值与最小值.解:(1)因为点(0,-2),(2,0)在函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象上,所以所以又a=-不符合题意,所以(2)由(1)可得f(x)=()x-3.因为>1,所以y=()x在其定义域上是增函数,所以f(x)=()x-3在区间[-2,4]上单调递增.所以f(x)在区间[-2,4]上的最小值为f(-2)=-,最大值为f(4)=6.[B级 综合练]10.若ea+πb≥e-b+π-a,则有(  ) A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0解析:选D.令f(x)=ex-π-x,则f(x)在R上单调递增,因为ea+πb≥e-b+π-a,所以ea-π-a≥e-b-πb,则f(a)≥f(-b),所以a≥-b,即a+b≥0.故选D.11.关于函数f(x)=的性质,下列说法中错误的是(  )A.函数f(x)的定义域为RB.函数f(x)的值域为(0,+∞)C.方程f(x)=x有且只有一个实根D.函数f(x)的图象是中心对称图形解析:选B.函数f(x)=的定义域为R,所以A正确;因为y=4x在定义域内单调递增,所以函数f(x)=在定义域内单调递减,所以函数的值域为,所以方程f(x)=x只有一个实根,所以B不正确,C正确;因为f(x+1)+f(-x)=+=+=,所以f(x)关于对称,所以D正确,故选B.12.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是________.解析:原不等式变形为m2-m<,因为函数y=在(-∞,-1]上是减函数,所以≥=2,当x∈(-∞,-1]时,m2-m<恒成立等价于m2-m<2,解得-1<m<2.答案:(-1,2) 13.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的最大值等于,求a的值.解:(1)令t=|x|-a,则f(x)=,不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,又y=在R上是单调递减的,因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).(2)由于f(x)的最大值是,且=,所以函数g(x)=|x|-a应该有最小值-2,从而a=2.14.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D.存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=++1.(1)当a=-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.解:(1)设y=f(x)=++1.当a=-1时,y=f(x)=-+1(x<0),令t=,x<0,则t>1,y=t2-t+1=+.所以y>1,即函数f(x)在(-∞,0)上的值域为(1,+∞).所以不存在常数M>0,使得|f(x)|≤M成立. 所以函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.(2)由题意知,|f(x)|≤3对x∈[0,+∞)恒成立.即-3≤f(x)≤3对x∈[0,+∞)恒成立.令t=,x≥0,则t∈(0,1].所以-≤a≤-t对t∈(0,1]恒成立,所以≤a≤,设h(t)=-,p(t)=-t,t∈(0,1].因为h(t)在(0,1]上递增,p(t)在(0,1]上递减,所以h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)=-5,p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)=1.所以实数a的取值范围为[-5,1].[C级 提升练]15.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域为(  )A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}解析:选D.f(x)===1+,因为2x>0,所以1+2x>1,所以0<<1,则0<<2,所以1<1+<3,即1<f(x)<3, 当1<f(x)<2时,[f(x)]=1,当2≤f(x)<3时,[f(x)]=2.综上,函数y=[f(x)]的值域为{1,2},故选D.16.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是(  )A.[-2,2)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-4,-2)解析:选B.根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),所以4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,则g(2)≤0,得m≥-2,综上可得实数m的取值范围为[-2,+∞).

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发布时间:2021-10-08 18:03:36 页数:7
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文章作者:随遇而安

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