2022高考数学（文）一轮复习训练：第二章第7讲指数函数（含解析）

[A级　基础练]1．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　)A．为增函数B．为减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A．由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数．2．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为(　　)A．[9，81]B．[3，9]C．[1，9]D．[1，＋∞)解析：选C．由f(x)过定点(2，1)可知b＝2，所以f(x)＝3x－2且在[2，4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.3．函数y＝e1－x2的图象大致是(　　)解析：选C．易知函数f(x)为偶函数，因此排除A，B；又因为f(x)＝e>0，故排除D，因此选C．4．已知a＝0.860.75，b＝0.860.85，c＝1.30.86，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b解析：选D．因为函数y＝0.86x在R上是减函数，所以0<0.860.85<0.860.75<1，又1.30.86>1，所以c>a>b.5．已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　)A．0<b<a<1B．0<a<b<1C．1<b<aD．1<a<b 解析：选C．因为当x>0时，1<bx，所以b>1.因为当x>0时，bx<ax，所以当x>0时，>1，所以>1，所以a>b，所以1<b<a，故选C．6．不等式2>的解集为________．解析：不等式2－x2＋2x>可化为>，等价于x2－2x<x＋4，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4.答案：{x|－1<x<4}7．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．解析：由f(1)＝得a2＝.又a>0，所以a＝，因此f(x)＝.设g(x)＝|2x－4|，因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)8．函数y＝－＋1在区间[－3，2]上的值域是________．解析：令t＝，则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋，因为x∈[－3，2]，所以t∈，所以当t＝时，ymin＝， 当t＝8时，ymax＝57.所以函数的值域为.答案：9．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝，所以函数t＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.10．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋2ax(－3≤x≤3)．(1)若g(x)在[－3，3]上是单调函数，求a的取值范围；(2)当a＝－1时，求函数y＝f(g(x))的值域．解：(1)g(x)＝(x＋a)2－a2图象的对称轴为直线x＝－a，因为g(x)在[－3，3]上是单调函数，所以－a≥3或－a≤－3，即a≤－3或a≥3.故a的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)当a＝－1时，f(g(x))＝2(－3≤x≤3)．令u＝x2－2x，y＝2u. 因为x∈[－3，3]，所以u＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1，15]．而y＝2u是增函数，所以≤y≤215，所以函数y＝f(g(x))的值域是.[B级　综合练]11．函数y＝(x∈R)的值域为(　　)A．(0，＋∞)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．解析：选B．y＝＝＝1－，因为2x>0，所以1＋2x>1，所以0<<1，－1<－<0，0<1－<1，即0<y<1，所以函数y的值域为(0，1)，故选B．12．当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，)B．C．∪D．(0，1)∪(1，)．解析：选C．当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0，且a≠1)．若a>1，y＝ax是增函数，则有a2<2，可得a<，故有1<a<；若0<a<1，y＝ax是减函数，则有a－2<2，可得a>，故有<a<1. 综上所述，a∈∪(1，)．13．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为8，最小值为m.若函数g(x)＝(3－10m)是单调递增函数，则a＝________．解析：根据题意，得3－10m>0，解得m<；当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上单调递增，最大值为a2＝8，解得a＝2，最小值为m＝a－1＝＝>，不合题意，舍去；当0<a<1时，函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上单调递减，最大值为a－1＝8，解得a＝，最小值为m＝a2＝<，满足题意．综上，a＝.答案：14．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，且f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是________．解析：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，所以f(x)＝2|x－1|.作出函数y＝f(x)的图象如图所示．当m<n≤1或1≤m<n时，离对称轴越远，m与n的差越小，由y＝2x－1与y＝21－x的性质知极限值为0.当m<1<n时，函数f(x)在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，则n－m取得最大值3－(－1)＝4，所以n－m 的取值范围是(0，4]．答案：(0，4]15．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．所以t2－2t>－2t2＋1即3t2－2t－1>0.解得t>1或t<－，所以该不等式的解集为.[C级　提升练]16．已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2)．(1)若λ＝，求函数f(x)的值域； (2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．解：(1)f(x)＝－＋4＝－2λ·＋4(－1≤x≤2)．设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋4.当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4＝＋.所以g(t)max＝g＝，g(t)min＝g＝.所以f(x)max＝，f(x)min＝，故函数f(x)值域为.(2)方程f(x)＝0有解可转化为λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2)．设φ(x)＝2·2x＋，当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.所以函数φ(x)的值域为.故实数λ的取值范围是.