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2022高考数学(文)一轮复习训练:第二章第5讲二次函数与幂函数(含解析)
2022高考数学(文)一轮复习训练:第二章第5讲二次函数与幂函数(含解析)
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[A级 基础练]1.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则a的值为( )A.-1 B.0 C.1 D.-2解析:选D.函数f(x)=-x2+4x+a的对称轴为直线x=2,开口向下,f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,则当x=0时,f(x)的最小值为f(0)=a=-2.2.设函数f(x)=x,若f(a)>f(b),则( )A.a2>b2B.a2<b2C.a<bD.a>b解析:选A.函数f(x)=x=(x2),令t=x2,易知y=t,在第一象限为单调递增函数.又f(a)>f(b),所以a2>b2.故选A.3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析:选C.若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-<0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故可排除B.故选C. 4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=f(4)>f(1),则( )A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0解析:选A.由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1),f(4)>f(1),所以f(x)先减后增,于是a>0,故选A.5.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是( )A.[0,4]B.C.D.解析:选D.二次函数图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,结合函数图象(如图所示)可得m∈.6.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数,且在x∈(0,+∞)上递减,则实数m=________.解析:根据幂函数的定义和性质,得m2-m-1=1.解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,符合题意;当m=-1时,f(x)=x0=1在(0,+∞)上不是减函数,所以m=2. 答案:27.已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为x=3,与y轴交于点(0,3),则它的解析式为________.解析:由题意知,可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2,又图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,即a=.所以y=(x-3)2=x2-2x+3.答案:y=x2-2x+38.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是________.解析:由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为x==2,又函数f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.答案:[0,4]9.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3.(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.解:(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],对称轴x=-∈[-2,3],所以f(x)min=f=--3=-,f(x)max=f(3)=15,所以函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x=-. ①当-≤1,即a≥-时,f(x)max=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=-满足题意;②当->1,即a<-时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,所以-2a-1=1,即a=-1满足题意.综上可知,a=-或a=-1.10.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.解:(1)设f(x)=ax2+bx+1(a≠0),由f(x+1)-f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.所以2a=2且a+b=0,解得a=1,b=-1,因此f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.(2)因为当x∈[-1,1]时,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,所以在[-1,1]上,x2-x+1>2x+m恒成立;即x2-3x+1>m在区间[-1,1]上恒成立.所以令g(x)=x2-3x+1=-,因为g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=-1, 所以m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).[B级 综合练]11.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关解析:选B.f(x)=-+b,①当0≤-≤1时,f(x)min=m=f=-+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},所以M-m=max与a有关,与b无关;②当-<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;③当->1时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有关,与b无关.综上所述,M-m与a有关,但与b无关.故选B.12.已知函数f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若x1<x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )A.f(x1)=f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)<f(x2)D.与x的值无关解析:选C.由题知二次函数f(x)的图象开口向下,图象的对称轴为x=,因为x1+x2=0,所以直线x=x1,x=x2关于直线x=0对称,由x1<x2,结合二次函数的图象可知f(x1)<f(x2).13.定义:如果在函数y=f(x)定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0 是它的一个均值点,如y=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是________.解析:因为函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数,设x0为均值点,所以=m=f(x0),即关于x0的方程-x+mx0+1=m在(-1,1)内有实数根,解方程得x0=1或x0=m-1.所以必有-1<m-1<1,即0<m<2,所以实数m的取值范围是(0,2).答案:(0,2)14.已知幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(m∈R)在(0,+∞)上单调递增.(1)求m的值及f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=-+2ax+1-a在[0,2]上的最大值为3,求实数a的值.解:(1)幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(m∈R)在(0,+∞)上单调递增,故解得m=0,故f(x)=x3.(2)由f(x)=x3,得g(x)=-+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a,函数图象为开口方向向下的抛物线,对称轴为x=a.因为在[0,2]上的最大值为3,所以①当a≥2时,g(x)在[0,2]上单调递增,故g(x)max=g(2)=3a-3=3,解得a=2.②当a≤0时,g(x)在[0,2]上单调递减,故g(x)max=g(0)=1-a=3,解得a=-2. ③当0<a<2时,g(x)在[0,a]上单调递增,在[a,2]上单调递减,故g(x)max=g(a)=a2+1-a=3,解得a=-1(舍去)或a=2(舍去).综上所述,a=±2.[C级 提升练]15.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)=x2-2ax+5在(-∞,a]上为减函数,所以f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,a]上单调递减,即f(x)max=f(1)=a,f(x)min=f(a)=1,所以a=2或a=-2(舍去).即实数a的值为2.(2)因为f(x)在(-∞,2]上是减函数,所以a≥2.所以f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,a+1]上单调递增,又函数f(x)的对称轴为直线x=a,所以f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=max{f(1),f(a+1)},又f(1)-f(a+1)=6-2a-(6-a2)=a(a-2)≥0,所以f(x)max=f(1)=6-2a.因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3.又a≥2,所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为2≤a≤3.
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所属:
高考 - 一轮复习
发布时间:2021-10-08 18:03:32
页数:7
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文章作者:随遇而安
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